Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Определение 6.1. Говорят,что ряд
P
∞
k=0
B
(k)
сходится к матрице S = (s
ij
),
если для всех 1 ≤ i, j ≤ n числовой ряд
P
∞
k=0
b
(k)
ij
сходится к s
ij
.
Определение 6.2. Пусть A – комплексная n × n-матрица и f(x) – целая
функция. По определению,
f(A) =
∞
X
k=1
c
k
A
k
= c
0
E + c
1
A + c
2
A
2
+ . . . + c
n
A
n
+ . . . . (6.2)
В частности,
e
A
= E + A +
A
2!
+ . . . +
A
n
n!
+ . . . .
Теорема 6.3. Для любой комплексной матрицы A и любой целой функции
f(x) ряд (6.2) сходится.
Для нахождения f(A) можно использовать следующую теорему.
Теорема 6.4. Пусть характеристический многочлен |A − λE| разлагается
|A − λE| = (λ −α
1
)
k
1
. . . (λ − α
s
)
k
s
,
где α
1
, . . . , α
s
различны. Утверждается, что существуют комплексные n ×n-
матрицы Z
ij
, 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ k
i
такие, что для любой целой функции f(x)
выполнено
f(A) = f(α
1
)Z
11
+ f
0
(α
1
)Z
12
+ . . . + f
(k
1
−1)
(α
1
)Z
1k
1
+
. . . + f(α
s
)Z
s1
+ f
0
(α
1
)Z
s2
+ . . . + f
(k
s
−1)
(α
s
)Z
sk
s
, (6.3)
где f
0
(x), . . . , f
(k)
(x) производные f(x) порядков 1, . . . , k соответственно.
Отметим, что в теореме 6.4 матрицы Z
ij
зависят только от исходной мат-
рицы A и не зависят от функции f(x),
Задача 6.5. Найти A
n
и e
tA
для следующих матриц:
a) A =
10 2
−39 −9
b) A =
4 3
−12 −8
, c) A =
−10 9 1
−23 19 2
24 −17 0
Решение a). |A − λE| = (λ − 4)(λ + 3). Согласно теореме 6.4, существуют
2 ×2 матрицы Z
1
и Z
2
такие, что для любой целой функции f(x) выполнено
f(A) = f(4)Z
1
+ f(−3)Z
2
. (6.4)
Полагая f(x) ≡ 1, получаем соотношение E = Z
1
+Z
2
. Если положить f(x) =
x − 4, то получаем A − 4E = −7Z
1
. Отсюда
Z
1
=
1
7
−6 −2
39 13
, Z
2
=
1
7
13 2
−39 −6
. (6.4)
22

Страницы