ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§7. Билинейные и квадратичные формы
Определение 7.1. Квадратичная форма f(x, x) называется положительно
определённой, если f(x, x) ≥ 0 и f(x, x) = 0 тогда и только тогда, когда
x = 0.
Имеет место следующий критерий положительной определённости.
Критерий Сильвестра. Квадратичная форма f(x, x) = a
11
x
2
1
+ 2a
12
x
1
x
2
+
a
22
x
2
2
+ . . . + a
nn
x
2
n
положительно определена тогда только тогда, когда все
угловые миноры δ
1
, . . . , δ
n
её матрицы положительны. Напомним, что угло-
вой минор δ
k
лежит на пересечении первых k строк и столбцов матрицы.
Задача 7.1. При каком λ следующая квадратичная форма f(x, x) = 4x
2
1
+
2x
1
x
2
+ 3x
2
2
− 2x
1
x
3
− 4x
2
x
3
+ λx
2
3
положительно определена?
Решение. Составим матрицу нашей квадратичной формы и найдём её угло-
вые миноры:
A =
4 1 −1
1 3 −2
−1 −2 λ
,
δ
1
= 4 > 0, δ
2
=
4 1
1 3
= 11 > 0, δ
3
= det A = 11x − 15.
Квадратичная форма f(x, x) положительно определена тогда и только тогда,
когда 11x − 15 > 0.
Ответ. При x >
15
11
.
§8. Евклидовы и унитарные пространства
Задача 8.1. Представить вектор x = (−7, 2, 1, 6) в виде суммы x = y +
z, где y принадлежит подпространству W , натянутому на векторы a
1
=
(1, 2, −1, 1), a
2
= (3, 1, 0, −1), a
3
= (1, −3, 2, −1), а вектор z ортогонален
W .
Решение. Выясним образуют ли векторы a
1
, a
2
, a
3
базис W . Для этого со-
ставим из них матрицу и вычислим её ранг:
1 2 −1 1
3 1 0 −1
1 −3 2 −1
∼
1 2 −1 1
0 −5 3 −4
0 −5 3 −4
.
Ранг матрицы равен 2. Первые два вектора образуют базу в системе строк
этой матрицы. Система {a
1
, a
2
} – базис W .
24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
