Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Будем искать вектор y в виде y = y
1
a
1
+ y
2
a
2
. Отсюда z = x − y =
x − y
1
a
1
− y
2
a
2
Так как вектор z ортогонален W, то
(z, a
1
) = (x − y
1
a
1
− y
2
a
2
, a
1
) = (x, a
1
) − y
1
(a
1
, a
1
) − y
2
(a
2
, a
1
) = 0
(z, a
2
) = (x − y
1
a
1
− y
2
a
2
, a
2
) = (x, a
2
) − y
1
(a
1
, a
2
) − y
2
(a
2
, a
2
) = 0
Получаем систему уравнения для нахождения y
1
и y
2
:
2 − 7y
1
− 4y
2
= 0
−25 − 4y
1
− 11y
2
= 0
Эта система уравнений имеет единственное решение y
1
= 2, y
2
= −3. Полу-
чаем y = y
1
a
1
+ y
2
a
2
= 2
1
a
1
− 3a
2
= (−7, 1, −2, 5) и z = x − y = (0, 1, 3, 1).
Ответ. y = (−7, 1, −2, 5), z = (0, 1, 3, 1).
§9. Сопряженный оператор.
Пусть V – унитарное(евклидово) пространство. Для любого линейного опе-
ратора ϕ в V существует единственный линейный оператор ϕ
∗
такой, что
равенство
(ϕ(x), y) = (x, ϕ
∗
(y))
верно для всех векторов x, y из V . Линейный оператор ϕ
∗
называют сопря-
женным к ϕ.
Если A = (a
ij
) матрица оператора ϕ в ортонормированном базисе, то мат-
рица оператора ϕ
∗
в том же базисе будет совпадать с сопряженной матрицей
A
∗
= (a
∗
ij
), a
∗
ij
=
a
ji
. Заметим, что сопряженная матрица A
∗
получается
из матрицы A композицией двух преобразований: комплексного сопряжения
матричных элементов и транспонирования. Коротко A
∗
= A
t
. Если A – ве-
щественная матрица, то A
∗
= A
t
.
Метод нахождения матрицы сопряженного оператора в неортонормирован-
ном базисе мы покажем на следующем примере.
Задача 9.1 Пусть {e
1
, e
2
} – ортонормированный базис евклидового про-
странства, и пусть оператор ϕ имеет в базисе f
1
= e
1
, f
2
= e
1
+ e
2
матрицу
A =
1 2
1 −1
. Найти матрицу оператора ϕ
∗
в базисе {f
1
, f
2
}.
Решение. Заметим, что базис {f
1
, f
2
} не является ортонормированным. По-
этому матрица матрица A
ϕ
∗
оператора ϕ в базисе не является сопряженной
к матрице A.
25

Страницы