Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Решение задачи состоит из нескольких этапов:
1) найдём матрицу E
ϕ
оператора ϕ в ортонормированном базисе {e
1
, e
2
};
2) найдём матрицу E
ϕ
∗
оператора ϕ
∗
в базисе {e
1
, e
2
} (матрица E
ϕ
∗
совпадает
с сопряженной матрицей к E
ϕ
);
3) найдём матрицу E
ϕ
∗
оператора ϕ
∗
в базисе {f
1
, f
2
}.
Выпишем матрицу перехода от базиса e
1
, e
2
к базису f
1
, f
2
и найдём мат-
рицу E
ϕ
:
T =
1 1
0 1
, E
ϕ
= T AT
−1
=
1 1
0 1
1 2
1 −1
1 1
0 1
−1
=
2 −1
1 −2
Матрица E
ϕ
∗
совпадает с сопряженной матрицей к E
ϕ
:
E
ϕ
∗
=
2 1
−1 −2
.
Отсюда
A
ϕ
∗
= T
−1
E
ϕ
∗
T =
3 6
−1 −3
.
Ответ:
3 6
−1 −3
§10. Самосопряженные операторы
Снова рассмотрим унитарное (евклидово) пространство V и линейный опе-
ратор ϕ : V → V.
Определение 10.1 Оператор ϕ называется самосопряженным, если ϕ = ϕ
∗
.
Матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе является
удовлетворяет условию A = A
∗
. Такие матрицы называют самосопряженны-
ми. Для вещественных самосопряженных матриц используют также термин
– симметрическая матрица.
Из свойств самосопряженного оператора выделим следующее: собствен-
ные значения самосопряженного оператора – вещественные числа. Основной
теоремой для самосопряженных операторов является следующая теорема.
Теорема 10.2. Для любого самосопряженного оператора в унитарном (ев-
клидовом) пространстве существует ортонормированный базис из собствен-
ных векторов.
Напомним, что вектор x 6= 0 называется собственным вектором линейного
оператора ϕ, если существует число λ для которого выполняется равенство
26

Страницы