ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Найдём ортонормированный базис в пространстве решений этого уравнения.
Для этого выберем произвольной решение, например одно из фундаменталь-
ных решений (1, 0, −1). Второй вектор будем находить из условий, что он
удовлетворяет уравнению (10.1) и ортогонален вектору (1, 0, −1). Все реше-
ния системы уравнений
2x
1
+ x
2
+ 2x
3
= 0
x
1
+ x
3
= 0
пропорциональны вектору (1, −4, 1). После нормировки получаем ортонор-
мированный базис в подпространстве собственных векторов с собственным
значением λ
1
= λ
2
= 9:
f
1
=
1
√
2
1
0
−1
, f
2
=
1
3
√
2
1
−4
1
.
Недостающий собственный вектор с собственным значений λ
3
= −9 находит-
ся из решения системы у равнений
(A + 9E)
x
1
x
2
x
3
=
10 −4 −8
−4 16 −4
−8 −4 10
x
1
x
2
x
3
=
0
0
0
.
Ответ:
D =
9 0 0
0 9 0
0 0 −9
, f
1
=
1
√
2
1
0
−1
, f
2
=
1
3
√
2
1
−4
1
, f
3
=
1
3
2
1
2
.
§11. Унитарные и ортогональные операторы
Определение 11.1. Оператор ϕ : V → V , действующий в унитарном (евкли-
довом) пространстве V , называется унитарным (ортогональным) оператором,
если (ϕ(x), ϕ(y)) = (x, y) для всех x, y ∈ V .
Другими словами, оператор унитарный (ортогональный), если он сохра-
няет скалярное произведение. По этой причине его иногда называют изо-
метрией. Отметим, что, по определению, унитарный оператор действует в
унитарном пространстве, а ортогональный – в евклидовом.
Матрица унитарного (ортогонального) оператора в ортонормированном
базисе является унитарной (ортогональной) матрицей. Напомним, что мат-
рица унитарная (ортогональная), если столбцы этой матрицы образуют ор-
тонормированный базис. Следующие две теоремы решают вопрос о канони-
ческих матрицах унитарного и ортогонального операторов.
28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
