ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
вектора f). Дополним f до ортонормированного базиса f = f
1
, f
2
, f
3
. Оператор
вращения в этом базисе имеет матрицу
1 0 0
0 cos α −sin α
0 sin α cos α
. (11.3)
Каждый несобственный ортогональный оператор является оператором по-
воротной симметрии – произведением оператора вращения вокруг некоторой
оси Rf и симметрии(отражения) относительно f
⊥
. Дополним f до ортонорми-
рованного базиса f = f
1
, f
2
, f
3
. Оператор поворотной симметрии в этом базисе
имеет матрицу
−1 0 0
0 cos α −sin α
0 sin α cos α
. (11.4)
В частности, если α = 0, то оператор поворотной симметрий является опера-
тором отражения относительно двумерного подпространства.
Задача 11.4. Найти каноническую матрицу и канонический базис ортого-
нального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе мат-
рицей:
A =
1
3
−2 1 −2
−2 −2 1
−1 2 2
Решение. Вычислим определитель:
det A =
1
27
−2 1 −2
−2 −2 1
−1 2 2
= 1.
Наш оператор является оператором вращения. Каноническая нашего опе-
ратора имеет вид (11.3).
Поскольку TrA = TrB, то 1 + 2 cos α = −
2
3
. Отсюда cos α = −
5
6
и
α = ±arccos(−
5
6
). (11.5)
Направляющий вектор f
1
оси вращения – собственный вектор с собствен-
ным значением 1. Находим f
1
и дополним до ортонормированного базиса:
f
1
=
1
√
11
−1
1
3
, f
2
=
1
√
2
1
1
0
, f
3
=
1
√
22
−3
3
−2
,
30
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
