ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Теорема 11.2. Для всякого унитарного оператора существует ортонормиро-
ванный базис из собственных векторов.
Следствие. Для всякого унитарного оператора существует ортонормирован-
ный базис, в котором матрица оператора является диагональной матрицей.
Отметим, что собственные значения унитарного оператора по модулю рав-
ны 1. Поэтому в его диагональной матрице по главной диагонали будут стоять
комплексные числа, по модулю равные 1.
Теорема 11.2 не верна для ортогональных операторов. Например. линей-
ной оператор поворота R
2
на угол 0 < α < π не имеет собственных векторов.
Теорема 11.3. Для любого ортогонального оператора существует ортонор-
мированный базис, в котором матрица оператора имеет блочно-диагональный
вид
B =
B
1
0 0
0 ... 0
0 0 B
s
,
где каждый блок B
i
равен ±1 или является матрицей вида:
cos α −sin α
sin α cos α
(11.1)
Собственные значения ортогонального оператора равны ±1. Определитель
ортогонального оператора также равен ±1. Поэтому, выделяют два класса
ортогональных операторов: собственные (det ϕ = 1) и несобственные (det ϕ =
−1).
Из теоремы 11.3 можно получить информацию о геометрических свойствах
ортогональных операторов в случаях, когда dim V = 2, 3.
1) dim V = 2.
Каждый собственный ортогональный оператор является оператором поворо-
та на некоторый угол α. Его матрица в произвольном ортонормированном
базисе имеет вид (11.1).
Каждый несобственный ортогональный оператор является является отра-
жением(симметрией) относительно некоторого одномерного подпространства
W . Его матрица в ортонормированным базисе f
1
, f
2
, где W = Rf
1
, имеет вид
1 0
0 −1
. (11.2)
2) dim V = 3.
Каждый собственный ортогональный оператор является оператором враще-
ния вокруг некоторой оси Rf, ||f|| = 1, на некоторый угол α (с позиции
29
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
