ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ϕ(x) = λx. Число λ называется собственным значением для вектора x. Мат-
рица линейного оператора в базисе из собственных векторов является диаго-
нальной матрицей.
Следствие 10.3. Для любой самосопряженной комплексной матрицы A су-
ществует унитарная матрица U, такая что D = U
−1
AU – диагональная мат-
рица. Для любой симметрическая вещественная матрицы A существует ор-
тогональная матрица T, такая что D = T
−1
AT – диагональная матрица.
Следствие 10.4. Для любой вещественной квадратичной формы f(x, x) су-
ществует ортонормированный базис, в котором
f(x, x) = b
1
y
2
1
+ ...b
n
y
2
n
.
Задача 10.5. Найти диагональную форму и ортонормированный базис из
собственных векторов для самосопряженного оператора, заданного в орто-
нормированном базисе матрицей
A =
1 −4 −8
−4 7 −4
−8 −4 1
Решение. Из теоремы 10.2 вытекает существование такого базиса. Найдём
собственные значения и собственные векторы. Вычислим характеристиче-
ский многочлен
|A − λE| =
1 − λ −4 −8
−4 7 − λ −4
−8 −4 1 − λ
= −(λ − 9)
2
(λ + 9).
Корни характеристического уравнения: λ
1
= λ
2
= 9, λ
3
= −9. Наша матрица
подобна диагональной матрице
D =
9 0 0
0 9 0
0 0 −9
.
Собственные векторы с собственным значением λ
1
= λ
2
= 9 являются
решениями системы уравнений
(A − 9E)
x
1
x
2
x
3
=
−8 −4 −8
−4 −2 −4
−8 −4 −8
x
1
x
2
x
3
=
0
0
0
.
Эта система уравнений пропорциональна одному уравнению
2x
1
+ x
2
+ 2x
3
= 0. (10.1)
27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
