Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 31 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

где вектор f
2
находится как частное решение уравнения (f
1
, f
2
) = 0 и f
3
=
[f
1
, f
2
].
Осталось определить знак в формуле (11.5). Для этого выберем произ-
вольный вектор, например первый вектор стандартного базиса e
1
, найдем
его образ ϕ(e
1
). Если тройка {f
1
, e
1
, ϕ(e
1
)} правая, то вращение осуществля-
ется против часовой стрелки позиции вектора f
1
). Если тройка левая, то
вращение по часовой стрелке. Вычислим смешанное произведение
(f
1
, e
1
, ϕ(e
1
)) =
1
11
1
2
3
1
11
0
2
3
3
1
11
0
1
3
< 0.
Вращение осуществляется по часовой стрелке. Угол α равен arccos(
5
6
) и
sin α =
11
6
.
Ответ. Каноническая форма матрицы и канонический базис:
1 0 0
0
5
6
11
6
0
11
6
5
6
, f
1
=
1
11
1
1
3
, f
2
=
1
2
1
1
0
, f
3
=
1
22
3
3
2
.
Задача 11.5. Найти каноническую матрицу и канонический базис ортого-
нального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе мат-
рицей:
A =
1
3
2 1 2
2 2 1
1 2 2
Решение Вычислим определитель:
det A =
1
27
2 1 2
2 2 1
1 2 2
= 1.
Наш оператор является оператором поворотной симметрии. Каноническая
нашего оператора имеет вид (11.4).
Поскольку TrA = TrB, то 1 + 2 cos α =
2
3
. Отсюда cos α =
5
6
и
α = ±arccos(
5
6
). (11.5)
Направляющий вектор f
1
оси вращения собственный вектор с собствен-
31