ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
x
2
+ y
2
= 0), или образует прямую (например, x
2
= 0), то существует ровно 4
типа кривых второго порядка – эллипс, гипербола, парабола и пара прямых
(уравнение (a
1
x + a
2
y + a
3
)(a
0
1
x + a
0
2
y + a
0
3
) = 0). Канонические формы этих
кривых
A1)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 (эллипс),
A2)
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1 (гипербола),
B1) y
2
= 2px (парабола),
A3)
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 0 (пара пересекающихся прямых),
B2) x
2
− a
2
= 0 (пара параллельных прямых).
Типичная задача теории кривых второго порядка состоит в следующем:
дано уравнение (12.1), требуется найти каноническую форму и каноническую
систему координат кривой.
Изложим метод её решения. Рассмотрим квадратичную часть f(x, y) =
a
11
x
2
+ 2a
12
xy + a
22
y
2
. Если f(x, y) – полный квадрат, то наша кривая из
серии B (парабола или пара параллельных прямых)(см. задачу 12.3).
Если f(x, y) не является полным квадратом, то мы имеем дело с кривой
серии A (эллипс, гипербола или пара пересекающихся прямых). В этом случае
надо выписать матрицу квадратичной части:
A =
a
11
a
12
a
21
a
22
которая называется главной матрицей кривой. Найдем декартов(т.е. ортонор-
мированный) базис из собственных векторов матрицы A:
f
1
=
t
11
t
21
, f
2
=
t
12
t
22
.
Перейдём в новую декартову систему координат со старым центром O и но-
вым базисом f
1
, f
2
. При этом координаты преобразуются по формуле
x
y
= T
x
0
y
0
, где T =
t
11
t
12
t
21
t
22
.
После перехода в новую систему координат уравнение (12.1) упрощается
F (x
0
, y
0
) = λ
1
x
02
+ λ
2
y
02
+ 2a
0
13
x
0
+ 2a
0
23
y
0
+ a
0
33
= 0, (12.3)
где λ
1
, λ
2
– собственные значения матрицы A. Далее, для нахождения кано-
нической формы и канонического базиса надо сделать перенос начала коор-
динат.
33
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
