ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Вычисления для кривых серии A можно существенно упростить, если при-
влечь следующие два соображения.
1) Многочлены
I
1
= TrA = a
11
+ a
22
I
2
= det A =
a
11
a
12
a
12
a
22
I
3
=
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
являются инвариантами уравнения кривой. То есть они не меняются при за-
менах (12.2). Уравнение кривой серии A переходом в новую декартову систе-
му координат можно привести к виду
λ
1
(x
0
)
2
+ λ
2
(y
0
)
2
+
I
3
I
2
= 0 (12.3)
Отсюда легко найти каноническую форму уравнения кривой.
2) Центр канонической системы координат кривой в серии A является её
центром симметрии и находится из решения системы уравнений
F
0
x
(x, y) = a
11
x + a
12
y + a
13
= 0
F
0
y
(x, y) = a
12
x + a
22
y + a
23
= 0
(12.4)
Задача 12.2. Найти канонический вид и каноническую систему координат
кривой
5x
2
+ 4xy + 8y
2
− 32x − 56y + 80 = 0.
Решение. Квадратичная часть 5x
2
+ 4xy + 8y
2
не является полным квадра-
том. Мы имеем дело с кривой серии A. Выпишем главную матрицу данной
кривой и вычислим её характеристический многочлен
A =
5 2
2 8
, |A − λE| =
5 − λ 2
2 8 − λ
= (λ − 4)(λ − 9).
Собственные значения – λ
1
= 4, λ
2
= 9, собственные векторы
f
1
=
1
√
5
2
−1
, f
2
=
1
√
5
1
2
.
Вычислим инварианты:
I
1
= TrA = 13, I
2
= det A = 36, I
3
=
5 2 −16
2 8 −28
−16 −28 80
= −36
2
.
34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
