ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Прямая может быть задана в алгебраической форме
x
1
− x
0
1
α
1
= . . . =
x
n
− x
0
n
α
n
. (14.5)
Систему уравнений (14.5) называют каноническим уравнением прямой.
Определителем Грама G(f
1
, . . . , f
m
) набора векторов {f
1
, . . . , f
m
} называют
определитель
G(f
1
, . . . , f
m
) =
(f
1
, f
1
) . . . (f
1
, f
n
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(f
n
, f
1
) . . . (f
n
, f
n
)
.
Расстояние ρ(A, Π) от точки A до m-плоскости Π определяется как
min{ρ(A, B)| B ∈ Π}
и вычисляется по формуле
ρ
2
(A, Π) =
G(
−−→
A
0
A, f
1
, . . . , f
m
)
G(f
1
, . . . , f
m
)
. (14.6)
Расстояние от точки A = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) до гиперплоскости Π, заданной
уравнением (14.3), может быть вычислено по формуле
ρ(A, Π) =
|a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
+ b|
p
a
2
1
+ a
2
2
+ . . . + a
2
n
. (14.7)
Расстояние ρ(l
1
, l
2
) между двумя прямыми l
1
и l
2
определяется как
min{ρ(B
1
, B
2
)| B
1
∈ l
1
, B
2
∈ l
2
}.
Если прямые l
1
, l
2
имеют начальные точки A
1
, A
2
и направляющие векторы
f
1
, f
2
, то расстояние между прямыми вычисляется по формуле
ρ
2
(l
1
, l
2
) =
G(
−−−→
A
1
A
2
, f
1
, f
2
)
G(f
1
, f
2
)
. (14.8)
Задача 14. 3. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(−1, 0, 3, 2),
B(2, 3, 4, 1).
Решение.
Воспользуемся формулой 14.4. Найдём направляющий вектор
−→
AB = {3, 3, 1, −1}.
Уравнение искомой прямой имеет вид:
x
1
= −1 + 3t
x
2
= 3t
x
3
= 3 + t
x
4
= 2 − t
52
