Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

28
Общее решение
o
y
линейного однородного дифференциального
уравнения имеет вид
(
)
(
)
xyCxyCy
2211o
⋅
+
⋅
=
, (2.3)
где
(
)
(
)
xy,xy
21
- линейно независимые решения этого уравнения
(фундаментальная система решений
),
21
C,C - произвольные постоянные.
При этом: функции
(
)
xy
1
и
(
)
xy
2
называются линейно независи-
мыми в промежутке
(
)
b;a , если их отношение
(
)
()
xy
xy
2
1
(в этом промежут-
ке) не является постоянной величиной. В противном случае функции на-
зываются линейно зависимыми
.
Для того, чтобы частные решения уравнения (2.2)
()
xy
1
и
()
xy
2
были линейно независимы в промежутке
(
)
b;a , необходимо и достаточно,
чтобы их определитель Вронского
()
(
)
(
)
() ()
xyxy
xyxy
xW
21
21
′′
=
был отличен от нуля хотя бы в одной точке
(
)
b;ax
∈
0
.
Общее решение
н
y линейного неоднородного дифференциального
уравнения представляет собой сумму
чoн
yyy
+
=
, (2.4)
где
o
y
- общее решение соответствующего однородного уравнения
(2.2), а
ч
y - некоторое частное решение неоднородного уравнения (2.1).
Остановимся подробнее на линейных уравнениях с постоянными ко-
эффициентами, для которых существуют стандартные алгоритмы реше-
ния.
2.1.2 Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Если в уравнении (2.2) все коэффициенты постоянны, то оно называ-
ется линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами
0=+
′
+
′
′
yqypy , (2.5)
где
q,p
- действительные числа.
Решение этого уравнения ищется в виде
x
ey
λ
=
. Значения параметра
λ определяются как решения квадратного уравнения

Страницы