Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

30
где 1
2
−=i
Таким образом, решение линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами сводится к вышеуказанной
простой последовательности действий.
2.1.3 Линейные однородные дифференциальные уравнения про-
извольного порядка с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида
(
)
(
)
(
)
n,j;p;ypyp...ypypy
jnn
nnn
1const0
1
2
2
1
1
===+
′
++++
−
−−
. (2 .7)
Фундаментальную систему решений уравнения (2.7) можно найти
следующим образом.
1) Составить характеристическое уравнение (алгебраическое уравне-
ние n-ой степени с теми же коэффициентами, что и (2.7)):
0
1
2
2
1
1
=+λ++λ+λ+λ
−
−−
nn
nnn
pp...pp
. (2.8)
Это уравнение имеет n корней, среди которых могут быть действи-
тельные простые или кратные корни, а также пары комплексно-
сопряженных корней (простых или кратных).
2) Если все корни
j
λ
уравнения (2.8) простые и действительные, то
получаем следующую фундаментальную систему решений уравнения
x
ey
1
1
λ
=
,
x
ey
2
2
λ
=
, ...,
x
n
n
ey
λ
=
.
3) Каждому действительному корню
λ
кратности k соответствует
ровно k линейно независимых решений уравнения
x
ey
λ
=
1
,
x
xey
λ
=
2
, ...,
xk
k
exy
λ−
=
1
.
4) Каждой паре комплексно-сопряженных корней
β+α=λ i
1
и
β−α=λ i
2
кратности m соответствует ровно 2m линейно независимых
решений уравнения (2.7) вида
xey
x
β=
α
cos
1
,
xey
x
β=
α
sin
2
,
xxey
x
β=
α
cos
3
, xxey
x
β=
α
sin
4
,
… … ... … ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
xexy
xm
m
β=
α−
−
cos
1
12
,
xexy
xm
m
β=
α−
sin
1
2
.
Получив ФСР, общее решение уравнения (2.7) записываем в виде

Страницы