Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

31
nn
yC...yCyCy +++
=
2211
.
2.1.4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Речь идет об уравнениях вида
(
)
xfyqypy =+
′
+
′′
, (2.9)
где
q,p
- действительные числа,
()
xf - непрерывная на некотором
интервале
()
b;a функция.
Общее решение ЛНДУ находится по формуле (2.4). Так как общее
решение
o
y
соответствующего линейного однородного уравнения легко
находится по указанному выше алгоритму, то основная трудность состоит
в нахождении какого-нибудь частного решения
ч
y неоднородного урав-
нения (2.9).
Для отыскания частного решения используют метод вариации произ-
вольных постоянных (метод Лагранжа). Метод заключается в следующем.
Пусть
()
xy
1
и
(
)
xy
2
- фундаментальная система решений однород-
ного уравнения (2.5).
Тогда частное решение уравнения (2.9) можно представить в виде
() ()
2211ч
yxCyxCy ⋅+⋅= , (2.10)
где
()
(
)
xC,xC
21
- некоторые неизвестные функции.
Функции
()
xC
1
и
(
)
xC
2
находятся с помощью системы уравнений:
()
⎩
⎨
⎧
=
′
⋅
′
+
′
⋅
′
=⋅
′
+⋅
′
.xfyCyC
,yCyC
2211
2211
0
(2.11)
Можно доказать, что эта система имеет единственное решение
() (){}
xC;xC
21
′′
.
Далее функции
(
)
xC
1
и
()
xC
2
восстанавливают как первообразные:
(
)()
∫
′
= dxxCxC
11
и
()
(
)
∫
′
= dxxCxC
22
.
Когда правая часть
(
)
xf линейного неоднородного уравнения имеет
специальный вид (ниже указаны возможные случаи), его частное решение
ч
y можно найти методом неопределенных коэффициентов (методом
подбора частного решения).

Страницы