Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

37
i
ii
,
2
3
2
1
4
62
4
362
2
21
±−=
±−
=
⋅±−
=λ
.
Получены комплексно-сопряженные корни, причем
2
3
2
1
=−=
βα
;
.
Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид
xey
x
2
3
cos
2
1
⋅=
−
,
xey
x
2
3
sin
2
2
⋅=
−
.
Записываем теперь общее решение
2211
yCyCy += :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
−
xCxCey
x
2
3
sin
2
3
cos
21
2
.
2.2.2. Решить задачу Коши
()
(
)
.y,y,yyy 40100168
=
′
==
+
′
−
′
′
Решение. Найдем общее решение линейного однородного уравнения.
Характеристическое уравнение
0168
2
=+λ−λ имеет корни
4
21
=λ=λ , в соответствии с которыми получаем фундаментальную сис-
тему решений:
xx
xey,ey
4
2
4
1
==
.
Теперь общее решение принимает вид
xx
xeCeCy
4
2
4
1
+=
. (2.17)
Подберем теперь постоянные
1
С и
2
С , используя начальные усло-
вия
()
10 =y ,
()
40 =
′
y .
Найдя производную от функции
y
(см. (2.17))
()
221
4
44 xCCCey
x
++=
′
, (2.18)
подставим в равенства (2.17) и (2.18) значения
410 =
′
== y,y,x из
начальных условий:
(
)
()
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+
.C
,C
.CCe
,Ce
0
1
404
10
2
1
21
0
0
Таким образом, с учетом (2.17), искомое частное решение имеет вид:
x
ey
4
=
.
2.2.3. Найти решение задачи Коши:
(
)
(
)
.y,y,yy 807004
=
′
=
=
′
+
′′
Решение. Находим корни характеристического уравнения:
04
2
=λ+λ ,
()
04 =+λλ , 0
1
=λ , 4
2
−=λ .

Страницы