Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

39
Теперь нахождению подлежат функции
()
xC
1
и
(
)
xC
2
.
Составляем систему уравнений для определения
(
)
xC
1
′
и
(
)
xC
2
′
:
(
)()
()
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
+
=
′
⋅
′
+
′
⋅
′
=⋅
′
+⋅
′
−−−
−−
.e
x
x
exxCexC
,exxCexC
xxx
xx
5
2
5
2
5
1
5
2
5
4
0
Находя производные функций, содержащихся во втором уравнении,
имеем
() ()
()
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
+
=−⋅
′
+−⋅
′
=⋅
′
+⋅
′
−−−−
−−
.e
x
x
xeexCexC
,exxCexC
xxxx
xx
5
2
55
2
5
1
5
2
5
4
55
0
Разделим оба уравнения системы на
x
e
5−
:
()
(
)
() ()( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=−⋅
′
+
′
−
′
−=
′
.
x
x
xxCxC
,xCxxC
4
515
2
21
2
⇔
(
)
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
′
′
−=
′
.
x
x
xС
,xСxxС
4
2
2
21
Система будет иметь следующее решение:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
′
+
−=
′
.
x
x
)x(С
,
x
x
)x(С
4
4
2
2
2
2
1
.
Для нахождения соответствующих первообразных удобно записать
эту систему в виде:
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
⋅=
′
−
+
=
′
.
x
x
xС
,
x
xС
4
2
2
1
1
4
4
2
2
2
1
Интегрируем каждое уравнение системы:
()
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
∫
∫
.
x
xd
xC
,dx
x
xС
4
4
2
1
1
4
4
2
2
2
2
1
⇔
()
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
−=
.xxC
,x
x
xС
4ln
2
1
2
arctg2
2
2
1
Поскольку
(
)()
xx
xexCexCy
5
2
5
1ч
−−
⋅+⋅=
, то частное решение неод-
нородного уравнения принимает вид
()
x
ex
x
x
x
y
52
ч
4ln
22
arctg2
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−= .

Страницы