Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

41
Корнями характеристического уравнения
06
2
=λ−λ
являются
числа
., 60
21
=λ=λ
Запишем общее решение однородного уравнения:
x
eCeCy
6
2
0
1о
+=
, т.е.
x
eCCy
6
21о
+=
.
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения
ч
y . Пра-
вая часть исходного уравнения представляет собой многочлен второй сте-
пени:
(
)
x
exPxx)x(f
⋅
⋅=−+−=
0
2
2
21818
,
где
0=α (
α
является корнем характеристического уравнения крат-
ности
1=k ); 2=n (степень многочлена).
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения будем
искать в виде:
(
)
(
)
CxBxAxCBxAxxexQxy
x
++=++⋅=⋅⋅=
⋅ 2320
2
1
ч
.
Осталось, подставив
чч
y,y,y
′′′
в уравнение, найти коэффициенты
А, В, С.
Поскольку
CBxAxy ++=
′
23
2
ч
, BAxy 26
ч
+=
′′
,
то
()
(
)
2181823626
22
−+−=++−+ xxCBxAxBAx ,
(
)
218186212618
22
−+−=−+−+− xxCBxBAAx
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменой х,
имеем:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
=−
−=−
.CB
,BA
,A
262
18126
1818
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
=
.C
,B
,A
0
1
1
Следовательно,
23
ч
xxy −=
, и общее решение неоднородного
уравнения принимает вид:
236
21чон
xxeCCyyy
x
−++=+=
.
2.2.8. Найти общее решение уравнения xsinyy 244 =+
′
′
.
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения:
04 =+
′
′
yy ;
04
2
=+λ
; i2
12
±=λ ;
следовательно,
.xCxCy 2sin2cos
21о
+=
Далее, правая часть уравнения имеет специальный вид:
(
)
(
)
[
]
xxQxxPexxx)x(f
x
2sin2cos2sin42cos02sin4
00
0
⋅+⋅⋅=⋅+⋅==
⋅
,
где
0=α ,
2
=
β
(числа
ii 2±=β±α
являются корнями характери-
стического уравнения кратности
1=k );

Страницы