Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

42
00
=
=
m,n
(степени многочленов, причем
{
}
0== m,nmaxN ).
Поэтому частное решение неоднородного уравнения будет иметь сле-
дующую структуру:
(
)
(
)
[
]
(
)
xBxAxxxQ
~
xxP
~
exy
x
2sin2cos2sin2cos
00
01
ч
⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=
⋅
.
Далее дифференцируем
(
)
xBxAxxBxAy 2cos2sin22sin2cos
ч
−−+=
′
,
(
)
xBxAxxBxAy 2sin2cos42cos42sin4
ч
+−+−=
′
′
.
Подставляя
ч
y и
ч
y
′
′
в исходное неоднородное уравнение, имеем
(убедитесь в этом самостоятельно):
xxBxA 2sin42cos42sin4
=
+
−
.
Приравнивая коэффициенты при
x2sin
и
x2cos
в левой и правой
частях полученного равенства, мы получаем систему
⎩
⎨
⎧
=
=−
.B
,A
04
44
⇔
⎩
⎨
⎧
=
−=
.B
,A
0
1
Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид
xxy 2cos
ч
−
=
.
Окончательно получаем решение уравнения:
xxxCxCyyy 2cos2sin2cos
21чон
.
2.2.9. Найти общее решение уравнения 369 =+
′
+
′
′
yyy .
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения
069 =+
′
+
′′
yyy имеет вид:
()
3
210
x
eCxCy
−
+=
,
так как корни характеристического уравнения
3
1
21
−=λ=λ
.
Правую часть неоднородного уравнения можно записать следую-
щим образом:
(
)
xx
exPe)x(f
⋅⋅
⋅=⋅==
0
0
0
33
,
где
0
=
α
(
α
не совпадает с корнями
21
,
), 0
=
n (степень многочлена).
Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в
виде
(
)
AexQy
x
=⋅=
⋅0
0ч
.
Дифференцируем:
0
чч
=
′
′
=
′
yy
. Подставляя результаты в исходное
уравнение, получим
3
=
A .

Страницы