Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

43
Итак, частное решение неоднородного уравнения
3
ч
=
y
, а его
общее решение:
()
3
3
21н
++=
−
x
eCxCy
.
2.2.10. Решить задачу Коши
(
)
(
)
.y,y,xxyyy 00003sin23cos623
=
′
=
+
=
+
′
+
′′
Решение. Имеем линейное неоднородное уравнение с правой частью
специального вида. Найдем сначала общее решение соответствующего
однородного уравнения:
023 =+
′
+
′′
yyy ;
023
2
=+λ+λ
,
1
1
−=λ
,
2
2
−
=
λ
;
xx
eCeCy
2
21o
−−
+=
.
Рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения:
() ()
(
)
[]
xxQxxPexxxf
x
3sin3cos3sin23cos6
00
0
⋅+⋅⋅=+=
⋅
,
где 0=α ,
3
=
β
(числа
ii 3±=β±α
не являются корнями характе-
ристического уравнения);
00 == m,n
(степени многочленов, причем
{
}
0
=
=
m,nmaxN
).
Поэтому частное решение неоднородного уравнения будет иметь сле-
дующую структуру:
(
)()
[
]
xBxAxxQ
~
xxP
~
ey
x
3sin3cos3sin3cos
00
0
ч
⋅+⋅=⋅+⋅⋅=
⋅
.
Далее,
xBxAy 3cos33sin3
ч
+−
=
′
,
xBxAy 3sin93cos9
ч
−−
=
′
′
.
Подставляя
ч
y
,
ч
y
′
и
ч
y
′
′
в исходное неоднородное уравнение, имеем
(убедитесь в этом самостоятельно):
()()
xxxBAxBA 3sin23cos63sin793cos97
+
=
⋅−−
+
⋅
+−
.
Приравнивая коэффициенты при
x3cos
и
x3sin в левой и правой
частях равенства, получаем систему
⎩
⎨
⎧
=−−
=+−
.BA
,BA
279
697
⇔
⎩
⎨
⎧
=
−=
.B
,A
134
136
Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид
xxy 3sin
13
4
3cos
13
6
ч
+−=
.
Теперь общим решением неоднородного уравнения является

Страницы