Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

40
Наконец, складывая
o
y
и
ч
y , получаем общее решение неоднород-
ного уравнения:
(
)
x
ex
x
x
x
xCCy
52
21н
4ln
22
arctg2
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−++= .
2.2.6. Найти общее решение уравнения
x
eyyy 332 =−
′
−
′′
.
Решение. Начнем с соответствующего однородного уравнения
032 =−
′
−
′
′
yyy .
Характеристическое уравнение
032
2
=−λ−λ имеет корни 3
1
=λ ,
1
2
−=λ , поэтому общее решение однородного уравнения
xx
eCeCy
−
+=
2
3
1о
Перейдем к нахождению частного решения
ч
y .
Правая часть неоднородного уравнения представляет собой произве-
дение многочлена и экспоненты, т.е. имеет специальный вид:
(
)
(
)
xx
exPexf
⋅
⋅==
1
0
3
,
где
1
=
α
(при этом
α
не является корнем характеристического
уравнения),
0
=
n (степень многочлена).
Поэтому частное решение неоднородного уравнения имеет следую-
щую структуру:
(
)
xx
eAexQy ⋅=⋅=
⋅1
0ч
, где
A
- неизвестная константа.
Осталось определить коэффициент
A
.
Для этого находим производные:
xx
Aey,Aey =
′′
=
′
чч
.
Подставляем
чч
y,y,y
′
′
′
в исходное неоднородное уравнение:
xxxx
eAeAeAe 332 =−− или
xx
eAe 34 −= ,
откуда
4
3
34 −=−= A,A
.
Итак, частное решение неоднородного уравнения
x
ey
4
3
ч
−=
.
Общее решение неоднородного уравнения находим как сумму
+
o
y
ч
y :
xxx
eeCeCy
4
3
2
3
1н
−+=
−
.
2.2.7. Найти общее решение уравнения
218186
2
−−=
′
−
′′
xxyy
.
Решение. Однородное уравнение имеет вид 06 =
′
−
′
′
yy .

Страницы