Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

38
Записываем общее решение однородного уравнения и находим его
производную:
x
eCCy
4
21o
−
+=
,
x
eCy
4
2o
4
−
−=
′
.
Используя начальные условия, получаем систему:
⎩
⎨
⎧
=−
=+
.С
,СС
84
7
2
21
⇔
⎩
⎨
⎧
−=
=
.C
,C
2
9
2
1
Тогда частное решение однородного уравнения (решение задачи Ко-
ши) принимает вид:
x
ey
4
29
−
−= .
2.2.4. Найти общее решение уравнения 08126 =+
′
+
′
′
+
′
′
′
yyyy .
Решение. Данное уравнение - линейное однородное уравнение третье-
го порядка.
Запишем соответствующее характеристическое уравнение
08126
23
=+λ+λ+λ или
(
)
02
3
=+λ
.
Отсюда получаем, что
2
321
−
=
λ
,,
- действительный корень кратности
3=k .
Построим теперь фундаментальную систему решений
x
ey
2
1
−
=
,
x
xey
2
2
−
=
,
x
exy
22
3
−
=
,
и общее решение
332211
yCyCyCy
+
+
=
окончательно запишем в
виде в виде
(
)
2
321
2
xCxCCey
x
++=
−
.
2.2.5. Найти общее решение уравнения
x
e
x
x
yyy
5
2
4
2510
−
+
=+
′
+
′′
.
Решение. Согласно структуре
чoн
yyy
+
=
общего решения линейно-
го неоднородного дифференциального уравнения, рассмотрение начинаем
с соответствующего линейного однородного уравнения
02510
=
+
′
+
′
′
yyy
.
Корнями характеристического уравнения
02510
2
=+λ+λ являются
числа
5
21
−=λ=λ . Следовательно, фундаментальная система решений
имеет вид:
(
)
(
)
.xexy,exy
xx 5
2
5
1
−−
==
Запишем общее решение однородного уравнения:
xx
xeCeCy
5
2
5
1о
−−
+=
.
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения приме-
ним метод вариации произвольных постоянных. Частное решение неодно-
родного уравнения будем искать в виде:
(
)()
xx
xexCexCy
5
2
5
1ч
−−
⋅+⋅=
.

Страницы