Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

46
2.3 Блок контрольных заданий
2.3.1 Теоретические упражнения
1) Составить линейное однородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами, решениями которого
являются функции
kx
e
−
и
kx
xe
−
(0
≠
k - любая постоянная величина).
2) Класс функций вида
)x(Ay γ+= sin представляет собой общее
решение некоторого линейного однородного дифференциального уравне-
ния второго порядка с постоянными коэффициентами (
A
и
γ
- произ-
вольные постоянные). Каков вид этого дифференциального уравнения?
3) Известно, что функция
kx
exy
2
=
является решением некоторого
линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами (0
≠
k - любая постоянная величина).
Каков вид соответствующего ему линейного однородного дифференци-
ального уравнения?
4) Найти решения краевой задачи
(
)()
,yy,yy 000
2
===+
′′
πλ
( λ -
произвольное отличное от нуля действительное число).
5) Пусть
1
y
- решение дифференциального уравнения
(
)
(
)
(
)
0
321
=
+
+
′
+
′′
xayxayxay
. Показать, что введение новой искомой
функции
1
y
y
u =
приводит к дифференциальному уравнению, допускаю-
щему понижение порядка.
6) Доказать, что при замене независимой переменной
()
tx ϕ=
, где
()
tϕ
- произвольная достаточное число раз дифференцируемая функция,
линейное уравнение второго порядка остается линейным.
7) Показать, что если известно частное решение
(
)
x
ϕ
однородного
линейного уравнения
(
)
(
)
0
21
=
+
′
+
′
′
yxayxay
, то подстановка
(
)
(
)
xuxy
⋅
ϕ
=
, где
(
)
xu
- новая функция, приводит исходное уравнение к
уравнению, допускающему понижение порядка.
8) Пусть
321
y,y,y
- три независимые частные решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка. Соста-
вить из них общее решение этого уравнения.
9) Составить линейное однородное дифференциальное уравнение
второго порядка, имеющее частные решения
xy
=
1
и
2
2
xy =
. Показать,

Страницы