Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

70
3.2. Задачи для самостоятельного решения.
Предварительные замечания.
1) При решении геометрических задач целесообразно построить чер-
теж. Если задача решается в прямоугольных координатах, то записать
уравнение искомой кривой в виде
(
)
xyy
=
и выразить все упоминаемые
в задаче величины через
y,y,x
′
.
2) В физических задачах надо, прежде всего, решить, какую из вели-
чин взять за независимую переменную, а какую – за значения искомой
функции; пусть, для определенности, искомая функция есть
()
xyy = . За-
тем следует выразить разностное отношение неизвестной функции через
величины, о которых говорится в задаче:
(
)
(
)
x
xyxxy
∆
−∆+
. Далее, при
переходе к пределу при
0→
∆
x , получается дифференциальное уравне-
ние, из которого можно найти искомую функцию.
В большинстве задач содержатся условия, с помощью которых можно
определить значения постоянных, входящих в общее решение дифферен-
циального уравнения. Иногда дифференциальное уравнение можно по-
строить более простым способом, воспользовавшись физическим смыслом
производной.
Решить задачи, используя математическую модель – обыкновенное диф-
ференциальное уравнение первого порядка.
1.Найти кривую, проходящую через точку
(
)
162;
, зная, что угловой
коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше угло-
вого коэффициента прямой, соединяющей эту же точку с началом коорди-
нат.
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(
)
14;
, для кото-
рой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится
пополам в точке пересечения с осью ординат.
3. Кривая проходит через точку с координатами
(
)
20
−
;
и обладает
тем свойством, что тангенс угла наклона касательной в любой ее точке
равен ординате этой точки, увеличенной на три единицы. Найти уравнение
этой кривой.
4. Составить уравнение линии, проходящей через точку
()
11;
, для ко-
торой тангенс угла наклона каждой ее касательной пропорционален квад-
рату ординаты точки касания.

Страницы