Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

26
2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА.
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
2.1.1. Основные понятия, структура общего решения
Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) второго порядка
называется уравнение вида
(
)
(
)
(
)
xfyxqyxpy =+
′
+
′
′
, (2.1)
где функции
(
)
(
)
(
)
xfxqxp ,,
непрерывны на некотором интервале
(
)
ba;
.
Если
(
)
0≡xf
, то уравнение (2.1) называется линейным однородным
дифференциальным уравнением (ЛОДУ):
(
)
(
)
0=+
′
+
′
′
yxqyxpy
, (2.2)
а в противном случае – линейным неоднородным (ЛНДУ).
Общее решение
o
y
линейного однородного дифференциального урав-
нения имеет вид
(
)
(
)
xyCxyCy
2211o
+=
, (2.3)
где
(
)
(
)
xyxy
21
,
– линейно независимые решения этого уравнения (фун-
даментальная система решений),
21
, CC
– произвольные постоянные.
При этом функции
(
)
xy
1
и
(
)
xy
2
называются линейно независимыми
в промежутке
(
)
ba;
, если их отношение
(
)
( )
xy
xy
2
1
(в этом промежутке) не
является постоянной величиной. В противном случае функции называют-
ся линейно зависимыми.
Для того, чтобы частные решения уравнения (2.2)
(
)
xy
1
и
(
)
xy
2
бы-
ли линейно независимы в промежутке
(
)
ba;
, необходимо и достаточно,
чтобы их определитель Вронского
( )
(
)
(
)
( ) ( )
xyxy
xyxy
xW
21
21
′′
=
был отличен от нуля хотя бы в одной точке
(
)
bax ;
0
∈
.

Страницы