Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

27
Общее решение
н
y
линейного неоднородного дифференциального
уравнения представляет собой сумму
чoн
yyy +=
, (2.4)
где
o
y
– общее решение соответствующего однородного уравнения (2.2);
ч
y
– некоторое частное решение неоднородного уравнения (2.1).
Остановимся подробнее на линейных уравнениях с постоянными ко-
эффициентами, для которых существуют стандартные алгоритмы решения.
2.1.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Если в уравнении (2.2) все коэффициенты постоянны, то оно называ-
ется линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами
0=+
′
+
′
′
qyypy
, (2.5)
где
q
p
,
– действительные числа.
Решение этого уравнения будем искать в виде
x
ey
λ
=
. Значения пара-
метра
λ
определяются как решения квадратного уравнения
0
2
=+λ+λ qp
, (2.6)
которое называется характеристическим уравнением.
Чтобы получить общее решение уравнения (2.5), следует воспользо-
ваться следующим алгоритмом:
– найти корни соответствующего характеристического уравнения
2
2,1
Dp ±−
=λ
,
где
qpD 4
2
−=
;
– записать фундаментальную систему решений (ФСР);
– использовать формулу (2.3) для записи
o
y
.
При нахождении корней характеристического уравнения (2.6) и по-
строении ФСР возникают следующие случаи, приведённые в табл.1.
Таким образом, решение линейного однородного дифференциально-
го уравнения с постоянными коэффициентами сводится к вышеуказанной
простой последовательности действий.

Страницы