Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

29
4. Каждой паре комплексно-сопряжённых корней
β+α=λ i
1
и
β−α=λ i
2
кратности m соответствует ровно 2m линейно-независимых
решений уравнения (2.7) вида
xey
x
β=
α
cos
1
,
xey
x
β=
α
sin
2
,
xxey
x
β=
α
cos
3
,
xxey
x
β=
α
sin
4
,
… … ... … ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
xexy
xm
m
β=
α−
−
cos
1
12
,
xexy
xm
m
β=
α−
sin
1
2
.
Получив ФСР, общее решение уравнения (2.7) записываем в виде
nn
yCyCyCy +++= ...
2211
.
2.1.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Речь идёт об уравнениях вида
(
)
xfqyypy =+
′
+
′
′
, (2.9)
где
q
p
,
– действительные числа,
(
)
xf
– непрерывная на некотором ин-
тервале
(
)
ba;
функция.
Общее решение ЛНДУ находится по формуле (2.4). Так как общее
решение
o
y
соответствующего линейного однородного уравнения легко
находится по указанному выше алгоритму, то основная трудность состоит
в нахождении какого-нибудь частного решения
ч
y
неоднородного урав-
нения (2.9).
Для отыскания частного решения используют метод вариации произ-
вольных постоянных (метод Лагранжа). Метод заключается в следующем.
Пусть
(
)
xy
1
и
(
)
xy
2
– фундаментальная система решений однород-
ного уравнения (2.5).
Тогда частное решение уравнения (2.9) можно представить в виде
(
)
(
)
2211
ч
yxCyxCy +=
, (2.10)
где
(
)
(
)
xCxC
21
,
– некоторые неизвестные функции.
Функции
(
)
xC
1
и
(
)
xC
2
находятся с помощью системы уравнений:
( )
=
′′
+
′′
=
′
+
′
.
,0
2211
2211
xfyCyC
yCyC
(2.11)
Можно доказать, что эта система имеет единственное решение
(
)
(
)
{
}
xCxC
21
;
′
′
.

Страницы