Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

30
Далее функции
(
)
xC
1
и
(
)
xC
2
восстанавливают как первообразные:
(
)
(
)
∫
′
= dxxCxC
11
и
(
)
(
)
∫
′
= dxxCxC
22
.
Когда правая часть
(
)
xf
линейного неоднородного уравнения имеет
специальный вид (ниже указаны возможные случаи), его частное решение
ч
y
можно найти методом неопределённых коэффициентов (методом
подбора частного решения).
Суть метода в том, что заранее можно определить структуру частно-
го решения. Данный метод сводится к случаям, приведённым в табл. 2.
Изложим алгоритм нахождения частного решения
ч
y
линейного
неоднородного дифференциального уравнения, правая часть которого
имеет «специальный вид».
1. Определим структуру частного решения
ч
y
(см. табл. 2).
2. Найдём производные
ч
y
′
и
ч
y
′
′
.
3. Подставим
ч
y
,
ч
y
′
и
ч
y
′
′
в исходное неоднородное уравнение (2.9).
4. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
x
(или при
синусах и косинусах, соответственно) в левой и правой части полученного
тождества. Получим систему уравнений для нахождения неизвестных ко-
эффициентов.
5. Найдём коэффициенты, решив систему.
6. Запишем частное решение
ч
y
с уже найденными коэффициентами.
Замечание 1.
Метод неопределённых коэффициентов может применяться и в слу-
чае, когда правая часть неоднородного уравнения представляет собой
сумму нескольких функций рассмотренных выше видов.
Так, если
1ч,
y
и
2ч,
y
– частные решения соответственно уравнений
(
)
xfyqypy
1
=+
′
+
′
′
и
(
)
xfyqypy
2
=+
′
+
′
′
,
то функция
2,ч1ч,ч
yyy +=
является частным решением уравнения
(
)
(
)
xfxfyqypy
21
+=+
′
+
′
′
.
Замечание 2.
При нахождении структуры частного решения важно правильно запи-
сать общий вид многочлена с неизвестными коэффициентами (см. табл. 3).

Страницы