ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
28
Таблица 1
Характеристическое
уравнение
Фундаментальная
система решений
ЛОДУ
Вид общего
решения ЛОДУ
дискриминант корни
0
>
D
действительные
различные
21
λ≠λ
x
ey
1
1
λ
=
,
x
ey
2
2
λ
=
xx
eCeCy
21
21o
λλ
+=
0
=
D
действительные
равные
λ=λ=λ
21
x
ey
λ
=
1
,
x
exy
λ
=
2
(
)
xCCey
x
21o
+=
λ
0
<
D
комплексно-
сопряжённые
β±α=λ i
2,1
,
где
1
2
−=i
xey
x
β=
α
cos
1
,
xey
x
β=
α
sin
2
(
)
xCxCey
x
β+β=
α
sincos
21o
2.1.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения
произвольного порядка с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида
(
)
(
)
(
)
njpypypypypy
jnn
nnn
,1;const;0...
1
2
2
1
1
===+
′
++++
−
−−
. (2.7)
Фундаментальную систему решений уравнения (2.7) можно найти
следующим образом.
1. Составить характеристическое уравнение (алгебраическое уравне-
ние n-й степени с теми же коэффициентами, что и (2.7)):
0...
1
2
2
1
1
=+λ++λ+λ+λ
−
−−
nn
nnn
pppp
. (2.8)
Это уравнение имеет n корней, среди которых могут быть действи-
тельные простые или кратные корни, а также пары комплексно-
сопряжённых корней (простых или кратных).
2. Если все корни
j
λ
уравнения (2.8) простые и действительные, то
получаем следующую фундаментальную систему решений уравнения:
x
ey
1
1
λ
=
,
x
ey
2
2
λ
=
, ...,
x
n
n
ey
λ
=
.
3. Каждому действительному корню
λ
кратности k соответствует
ровно k линейно независимых решений уравнения:
x
ey
λ
=
1
,
x
xey
λ
=
2
, ...,
xk
k
exy
λ−
=
1
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
