Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

34
В полученное равенство вместо
x
подставим выражение (2.15):
yqpbyaqyyay
′
++−
′
=
′
′
,
или
(
)
(
)
0=++
′
+−
′
′
ypbaqyqay
. (2.16)
Соотношение (2.16) – это линейное однородное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, его характе-
ристическое уравнение можно записать с помощью определителя
0=
λ−
λ−
qp
ba
.
В соответствии с корнями
21
, λλ
найдём фундаментальную систему
решений
1
y
и
2
y
, а затем и общее решение уравнения (2.16):
(
)
(
)
tyCtyCy
2211
+=
.
Затем из равенства (2.15) находим функцию
(
)
21
,, CCtx
. В результате
будет получено общее решение системы (2.14).
2.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ АКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ
2.2.1. Найти общее решение
0522 =+
′
+
′
′
yyy
.
Решение. Имеем линейное однородное уравнение с постоянными ко-
эффициентами.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
0522
2
=+λ+λ
,
(
)
2
3613636404 iD ⋅=−⋅=−=−=
,
i
ii
2
3
2
1
4
62
4
362
2
2,1
±−=
±−
=
±−
=λ
.
Получены комплексно-сопряжённые корни, причём
2
3
;
2
1
=β−=α
.
Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид
xey
x
2
3
cos
2
1
−
=
,
xey
x
2
3
sin
2
2
−
=
.
Записываем теперь общее решение
2211
yCyCy +=
:
+=
−
xCxCey
x
2
3
sin
2
3
cos
21
2
.

Страницы