Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

35
2.2.2. Решить задачу Коши:
(
)
(
)
.40,10,0168 =
′
==+
′
−
′
′
yyyyy
Решение. Найдём общее решение линейного однородного уравнения.
Характеристическое уравнение
0168
2
=+λ−λ
имеет корни
4
21
=λ=λ
, в соответствии с которыми получаем фундаментальную
систему решений:
xx
xeyey
4
2
4
1
, ==
.
Теперь общее решение принимает вид:
xx
xeCeCy
4
2
4
1
+=
. (2.17)
Подберём теперь постоянные
1
С
и
2
С
, используя начальные усло-
вия
(
)
10 =y
,
(
)
40 =
′
y
.
Найдя производную от функции
y
(см. (2.17))
(
)
221
4
44 xCCCey
x
++=
′
, (2.18)
подставим в равенства (2.17) и (2.18) значения
4,1,0 =
′
== yyx
из на-
чальных условий:
(
)
( )
=
=
⇔
=++
=+
.0
,1
.404
,10
2
1
21
0
0
C
C
CCe
Ce
Таким образом, с учётом (2.17), искомое частное решение имеет вид:
x
ey
4
=
.
2.2.3. Найти решение задачи Коши:
(
)
(
)
.80,70,04 =
′
==
′
+
′
′
yyyy
Решение. Находим корни характеристического уравнения:
04
2
=λ+λ
,
(
)
04 =+λλ
,
0
1
=λ
,
4
2
−=λ
.
Записываем общее решение однородного уравнения и находим его
производную:
x
eCCy
4
21o
−
+=
,
x
eCy
4
2o
4
−
−=
′
.
Используя начальные условия, получаем систему:
=−
=+
.84
,7
2
21
С
СС
⇔
−=
=
.2
,9
2
1
C
C
Тогда частное решение однородного уравнения (решение задачи
Коши) принимает вид:
x
ey
4
29
−
−=
.

Страницы