ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
36
2.2.4. Найти общее решение уравнения
08126 =+
′
+
′
′
+
′
′
′
yyyy
.
Решение. Данное уравнение – линейное однородное уравнение
третьего порядка.
Запишем соответствующее характеристическое уравнение
08126
23
=+λ+λ+λ
или
(
)
02
3
=+λ
.
Отсюда получаем, что
2
3,2,1
−=λ
– действительный корень кратности
3=k
.
Построим теперь фундаментальную систему решений
x
ey
2
1
−
=
,
x
xey
2
2
−
=
,
x
exy
22
3
−
=
,
и общее решение
332211
yCyCyCy ++=
окончательно запишем в виде в
виде
(
)
2
321
2
xCxCCey
x
++=
−
.
2.2.5. Найти общее решение уравнения
x
e
x
x
yyy
5
2
4
2510
−
+
=+
′
+
′′
.
Решение. Согласно структуре
чoн
yyy +=
общего решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения, рассмотрение начинаем с
соответствующего линейного однородного уравнения
02510 =+
′
+
′
′
yyy
.
Корнями характеристического уравнения
02510
2
=+λ+λ
являются
числа
5
21
−=λ=λ
. Следовательно, фундаментальная система решений
имеет вид:
(
)
(
)
.,
5
2
5
1
xx
xexyexy
−−
==
Запишем общее решение однородного уравнения:
xx
xeCeCy
5
2
5
1
о
−−
+=
.
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения приме-
ним метод вариации произвольных постоянных. Частное решение неод-
нородного уравнения будем искать в виде:
(
)
(
)
xx
xexCexCy
5
2
5
1ч
−−
+=
.
Теперь нахождению подлежат функции
(
)
xC
1
и
(
)
xC
2
.
Составляем систему уравнений для определения
(
)
xC
1
′
и
(
)
xC
2
′
:
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
+
=
′
′
+
′
′
=
′
+
′
−−−
−−
.
4
,0
5
2
5
2
5
1
5
2
5
xxx
xx
e
x
x
exxCexC
exxCexC
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
