Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

38
2.2.6. Найти общее решение уравнения
x
eyyy 332 =−
′
−
′′
.
Решение. Начнём с соответствующего однородного уравнения
032 =−
′
−
′
′
yyy
.
Характеристическое уравнение
032
2
=−λ−λ
имеет корни
3
1
=λ
,
1
2
−=λ
, поэтому общее решение однородного уравнения
xx
eCeCy
−
+=
2
3
1о
.
Перейдём к нахождению частного решения
ч
y
.
Правая часть неоднородного уравнения представляет собой произве-
дение многочлена и экспоненты, т.е. имеет специальный вид:
(
)
(
)
xx
exPexf
1
0
3 ==
,
где
1
=
α
(при этом
α
не является корнем характеристического уравне-
ния),
0
=
n
(степень многочлена).
Поэтому частное решение неоднородного уравнения имеет следую-
щую структуру:
(
)
xx
eAexQy ==
1
0
ч
,
где
A
– неизвестная константа.
Осталось определить коэффициент
A
.
Для этого находим производные:
xx
AeyAey =
′′
=
′
чч
,
.
Подставляем
чч
,, yyy
′
′
′
в исходное неоднородное уравнение:
xxxx
eAeAeAe 332 =−−
или
xx
eAe 34 −=
,
откуда
4
3
,34 −=−= AA
.
Итак, частное решение неоднородного уравнения
x
ey
4
3
ч
−=
.
Общее решение неоднородного уравнения находим как сумму
ч
o
yy +
:
xxx
eeCeCy
4
3
2
3
1н
−+=
−
.
2.2.7. Найти общее решение уравнения
218186
2
−−=
′
−
′′
xxyy
.
Решение. Однородное уравнение имеет вид
06 =
′
−
′
′
yy
.
Корнями характеристического уравнения
06
2
=λ−λ
являются числа
.6,0
21
=λ=λ

Страницы