Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

41
Правую часть неоднородного уравнения можно записать следующим
образом:
(
)
xx
exPexf
⋅⋅
⋅=⋅==
0
0
0
33)(
,
где
0
=
α
(
α
не совпадает с корнями
21
,
λ
λ
),
0
=
n
(степень многочлена).
Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в
виде
(
)
AexQy
x
==
0
0ч
.
Дифференцируем:
0
чч
=
′
′
=
′
yy
. Подставляя результаты в исходное
уравнение, получим
3
=
A
.
Итак, частное решение неоднородного уравнения
3
ч
=y
, а его об-
щее решение:
( )
3
3
21н
++=
−
x
eCxCy
.
2.2.10. Решить задачу Коши
xxyyy 3sin23cos623 +=+
′
+
′
′
,
(
)
00 =y
,
(
)
00 =
′
y
.
Решение. Имеем линейное неоднородное уравнение с правой частью
специального вида. Найдём сначала общее решение соответствующего
однородного уравнения:
023 =+
′
+
′
′
yyy
;
023
2
=+λ+λ
,
1
1
−
=
λ
,
2
2
−
=
λ
;
xx
eCeCy
2
21o
−−
+=
.
Рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения:
(
)
(
)
(
)
[
]
xxQxxPexxxf
x
3sin3cos3sin23cos6
00
0
+=+=
,
где
0
=
,
3
=
(числа
ii 3
±
=
β
±
α
не являются корнями характеристи-
ческого уравнения);
0,0
=
=
mn
(степени многочленов, причём
{
}
0,max == mnN
).
Поэтому частное решение неоднородного уравнения будет иметь
следующую структуру:
( ) ( )
[
]
xBxAxxQxxPey
x
3sin3cos3sin
~
3cos
~
00
0
ч
+=+=
.
Далее,
xBxAy 3cos33sin3
ч
+−=
′
,
xBxAy 3sin93cos9
ч
−−=
′
′
.
Подставляя
ч
y
,
ч
y
′
и
ч
y
′
′
в исходное неоднородное уравнение, име-
ем (убедитесь в этом самостоятельно):
(
)
(
)
xxxBAxBA 3sin23cos63sin793cos97 +=−−++−
.

Страницы