Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

54
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СРЕДСТВАМИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
И ВТОРОГО ПОРЯДКА КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.
ЗАДАЧИ ДЛЯ АКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ
В различных областях человеческой деятельности возникает боль-
шое число задач, которые сводятся к решению дифференциальных урав-
нений. Характер этих задач и методику их решения можно схематически
описать примерно так. Происходит некоторый процесс, например физиче-
ский, химический, биологический. Нас интересует определенная функ-
циональная характеристика этого процесса, например закон изменения со
временем температуры или давления, массы, положения в пространстве.
Если имеется достаточно полная информация о течении этого процесса,
то можно попытаться построить его математическую модель. Во многих
случаях такой моделью служит дифференциальное уравнение, одним из
решений которого является искомая функциональная характеристика
процесса.
Дифференциальное уравнение моделирует процесс в том смысле, что
оно описывает эволюцию процесса, характер происходящих с материаль-
ной системой изменений, возможные варианты этих изменений в зависи-
мости от первоначального состояния системы.
3.1.1. Математическая модель рекламы
Задача 1. Определить закон, по которому распространяются сведе-
ния о распродаже некоторой продукции, если скорость распространения
информации (по свидетельству статистики) пропорциональна как числу
знающих о распродаже, так и числу незнающих потенциальных покупате-
лей, в сумме составляющих
N
человек.
Решение. Обозначим через
)(ty
функцию, значения которой совпа-
дают с числом потенциальных покупателей, узнавших к моменту времени
о распродаже. Тогда указанная в условии пропорциональность может
быть реализована в виде
)),(()(=)( tyNtkyty −
′
(3.1)
где коэффициент пропорциональности k можно считать известным
(он определяется экспериментально и зависит от интенсивности рекламы
и др. факторов).
Найдём общее решение данного уравнения с разделяющимися пере-
менными:

Страницы