Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

56
Говорят, что происходит стабилизация этих значений, а сам процесс
называют процессом выравнивания.
Примеры математических моделей процессов выравнивания можно
найти в физике, экономике («модель равновесия»), химии и др.
Рассмотрим теперь задачу о нагревании (остывании) тела.
Речь в ней идёт о выяснении характера зависимости
)(= tTT
темпе-
ратуры T остывающего тела от времени t течения процесса, если скорость
остывания пропорциональна разности между температурой тела и темпе-
ратурой
1
T
окружающей среды (закон Ньютона); начальная температура
0
T
тела задана.
Имеем, очевидно, задачу вида
0,const,=(0) ,)(=
01
>=−−
′
kkTTTTkT
. (3.2)
Здесь k – коэффициент пропорциональности (определяется экспери-
ментально), зависящий как от физических свойств тела, так и от его гео-
метрической формы.
Решение задачи (3.2) будет иметь вид:
.)(=
101
kt
eTTTT
−
−+
С течением времени происходит выравнивание температуры: она
приближается к значению
1
T
температуры окружающей среды.
Задача 2. Вода в открытом резервуаре имела начальную температуру
70 °C, через 10 мин температура повысилась до 65 °C, а температура ок-
ружающей резервуар среды равна 15° C. Найти температуру воды в ре-
зервуаре через 30 мин от начала наблюдений. Определить, в какой момент
времени температура воды будет составлять 20 °C?
Решение. Как было показано выше, необходимо решить уравнение
вида (3.2):
)15(=
о
−−
′
TkT
или
(
)
о
15−−= Tk
dt
dT
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
∫∫
=
−
kdt
T
dT
о
15
;
(
)
CktT ln15ln
о
+=−
;
откуда
1
о
15 Ceee
еТ
ktCktCkt
===−
+
;
о
1
15+=
tk
eC
Т
.
Найдём постоянную величину
1
С
при начальных условиях
0
=
t
,
о
70=T
:
о0
1
о
1570 +=
k
eС
или
о
111
0
1
о
55,155 ==⋅== CCCeС
.

Страницы