ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
58
Рис. 1
Задача 3. Найти уравнение линии,
проходящей через точку (1; 2), для
которой отрезок любой её касательной,
заключённой между координатными
осями, делится пополам в точке касания.
Решение. Поскольку заданная точка
(1; 2) расположена в первой четверти, то
естественно вести рассмотрение участка
линии в той же четверти (рис. 1). Точку
касания (x, y) будем считать располо-
женной там же (рассмотрение других
четвертей координатной плоскости производится аналогичным образом).
При данных условиях касательная образует тупой угол α с полуосью
OX. Смежный с ним угол π–α имеет тангенс, который равен отношению
ординаты
y
~
точки пересечения касательной с осью OY к абсциссе
x
~
точки пересечения её же с осью OX.
По условию задачи, точка касания (x, y) лежит в середине этого
отрезка, поэтому
xxyy 2=
~
,2=
~
.
Тогда получаем:
x
y
2
2
=)(tg α−π
или
x
y
−α =tg
.
Используя геометрический смысл производной, последнее равенство
можно записать в виде
,=
x
y
y −
′
т.е. мы пришли к дифференциальному
уравнению линии (в данном случае к уравнению с разделяющимися
переменными). Решим его:
x
y
dx
dy
−=
;
x
dx
y
dy
∫∫
−=
;
Cxy ln||ln|=|ln +−
;
Cyx ln||ln =
.
Теперь общее решение уравнения имеет вид
.|=| Cyx
Расположение точки (1; 2) на линии равносильно заданию начального
условия
2=(1)y
. Выполняя подстановку значений
2= 1,= yx
в общее
решение, находим, что
2=C
.
Окончательно получим уравнение
2,|=| yx
что равносильно заданию
двух гипербол
2=xy
и
2.=
−
xy
Задача 4. Найти плоские кривые, у которых кривизна постоянна.
Решение. Известно, что кривизна кривой находится из уравнения
( )
( )
( )
23
2
1
κ
y
y
x
′
+
′′
=
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
