Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

59
Найдём решение этого уравнения, полагая, что кривизна
(
)
Kx ==κ const
. Порядок дифференциального уравнения понижаем с
помощью подстановки
(
)
(
)
xzyxzy
′
=
′
′
=
′
,
. Получим уравнение первого
порядка с разделяющимися переменными:
( )
K
z
z
=
+
′
23
2
1
. (3.5)
Имеем:
(
)
23
2
1 zK
dx
dz
+=
;
( )
dx
z
dz
K
=
+
23
2
1
1
;
( )
∫
+=
+
1
23
2
1
1
Cx
z
dz
K
.
Сделав подстановку
tz tg
=
, найдём интеграл (проверьте самостоя-
тельно):
( )
∫
=
+
23
2
1 z
dz
const
1
2
+
+ z
z
.
Общее решение уравнения (3.5):
1
2
1
1
Cx
z
z
K
+=
+
.
Отсюда можно выразить z:
(
)
( )
2
1
2
1
1
Cx
K
Cx
z
+−
+
±=
.
Снова получаем дифференциальное уравнение первого порядка (точ-
нее, пару таких уравнений):
(
)
( )
2
1
2
1
1
Cx
K
Cx
y
+−
+
±=
′
;
(
)
( )
∫
+−
+
±=+
2
1
2
1
2
1
Cx
K
dxCx
Cy
.
Далее,
( ) ( ) ( )
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
111
2
1
Cx
K
Cx
K
dCx
K
Cy +−±=
+−
+−=+
∫
−
m
или, окончательно:
( ) ( )
2
2
1
2
2
1
K
CxCy =+++
.

Страницы