Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

60
Так как
R
K
=
1
– радиус кривизны, то получаем уравнение семейства
окружностей:
(
)
(
)
2
2
2
2
1
RCyCx =+++
.
Таким образом, плоскими кривыми с постоянной (ненулевой) кри-
визной могут быть только окружности.
3.1.4. Моделирование движения,
описываемого вторым законом Ньютона
Если движение тела массы m происходит прямолинейно под действи-
ем силы, величина которой равна F, а ускорение движения равно a, то со-
гласно второму закону Ньютона имеет место соотношение
.= maF
Если
)(= tyy
– величина пути, пройденного телом к моменту време-
ни t, то ускорение
)(= tya
′
′
, поэтому
.= ymF
′
′
В общем случае сила F зависит от трёх переменных: времени t, вели-
чин y и y′:
),;(= yytFym
′
′
′
. (3.6)
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение второго по-
рядка, служащее математической моделью движения, описываемого вто-
рым законом Ньютона.
Рассмотрим несколько частных случаев (3.6).
1. Случай, когда
const=
0
=FF
.
Записав (3.6) в виде
,=
0
Fym
′
′
имеем дифференциальное уравнение
второго порядка, которое решается последовательным интегрированием:
=
′
∫
dt
m
F
y
0
= ,
1
0
Ct
m
F
+
dtCt
m
F
y
+
∫
1
0
=
, у
.
2
21
2
0
CtCt
m
F
++=
2. В случае, когда действующая сила обратно пропорциональна вре-
мени t, протекшему с начала движения (коэффициент пропорционально-
сти k задан), рассмотрим временной отрезок
∈ 1;
2
1
t
. При этом в момент
1=t
скорость тела
0
=
v
и пройденное расстояние
2
=
y
. Получаем зада-
чу Коши:
0.=(1) 2,=(1) ,=
2
yy
t
k
ym
′′′

Страницы