Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

62
Получаем линейное уравнение первого порядка относительно функ-
ции
(
)
tvv =
:
kvmgvm −=
′
.
Решаем его с помощью подстановки Бернулли, получаем общее ре-
шение:
( )
k
mg
Cetv
t
m
k
+=
−
.
Используя начальное условие
(
)
00 =v
, найдём частное решение
( )
−=
− t
m
k
e
k
mg
tv 1
.
3.1.5. Математическая модель колебаний материальной точки
Задача 6. Процесс колебания относительно положения равновесия
материальной точки массы m под действием силы упругости
ykF
1
= −
и
внешней силы
t
ektf
−
2
=)(
может быть описан уравнением (составленным
на основании второго закона Ньютона)
,=
21
t
ekykym
−
+−
′′
где
)(= tyy
– отклонение в момент t точки относительно положения рав-
новесия.
Определить закон движения
)(= tyy
, если положение точки в на-
чальный момент и при
1=t
заданы:
0=(1) 0,=(0) yy
. Решить задачу в
случае следующих значений коэффициентов пропорциональности:
mkmk 2= ,=
21
. Определить приближённо значение y в момент
5=t
.
Решение. Если подставить значения
1
k
и
2
k
в уравнение и поделить
обе его части на m, то приходим к следующей краевой задаче:
0.=(1)0,=(0),2= yyeyy
t−
+
′′
Найдём сначала общее решение соответствующего однородного
уравнения:
0=yy +
′
′
;
01
2
=+λ
; i±=λ
2,1
;
.sincos=
21o
tCtCy +
Частное решение неоднородного уравнения имеет следующую
структуру:
const,=
ч
=
−
AAey
t
.
Применяя метод неопределённых коэффициентов для нахождения A,
получаем
t
ey
−
=
ч
(убедитесь самостоятельно).

Страницы