Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

63
Общее решение неоднородного уравнения принимает вид
.sincos=
21н
t
etCtCy
−
++
Воспользуемся краевыми условиями, подставив в общее решение
одновременно
0=t
и
0=y
, а затем
1=t
и
0=y
. Имеем систему двух
линейных уравнений относительно
1
C
и
2
C
:
++
++
−
.0=1sin1cos
,0=0sin0cos
1
21
0
21
eCC
eCC
⇔
( )
−=
−=
−
.1sin1ctg
,1
1
2
1
eC
C
Подставляя найденные значения
1
C
и
2
C
в запись общего решения,
получаем искомый закон движения
.sin1)sin1ctg(cos=
11
t
etety
−−−
+−+−
В частности, в момент
5=t
.47,05sin1)sin1ctg(5cos=(5)
511
−≈+−+−
−−−
eey
С точки зрения физики, отрицательное значение
(5)y
означает, что
точка отклонилась от положения равновесия в сторону, противоположную
положению, занимаемую ею в начальный момент.
3.1.6. Математическое моделирование некоторых задач химии,
динамики, сопротивления материалов и радиотехники
Задача 7. В результате химической реакции между веществами А и B
образуется вещество C. Установить зависимость количества вещества C
от времени, если в момент вступления в реакцию количества веществ A
и B были равны соответственно a и b. Скорость реакции пропорциональна
произведению реагирующих масс.
Решение. Пусть
(
)
txx
=
– количество вещества C через время t по-
сле начала реакции;
dt
dx
– скорость образования вещества (скорость реак-
ции). По условию
( )( )
xbxak
dt
dx
−−=
, где
0>k
– коэффициент пропор-
циональности. Разделяем переменные и решаем уравнение:
( )( )
kdt
xbxa
dx
=
−−
;
( )
dtabk
bx
dx
ax
dx
−−=
−
−
−
;
( )
tabk
Ce
bx
ax
−−
=
−
−
.
Из начального условия
(
)
00 =
x
находим
b
a
C =
, тогда
( )
tabk
e
b
a
bx
ax
−−
=
−
−
.

Страницы