Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

65
Рис. 2
Задача 9. В последовательном контуре
наблюдаются свободные колебания, если от-
сутствует внешний источник, и конденсатор
был заряжен к моменту замыкания ключа S.
После замыкания ключа S в момент времени
t = 0 конденсатор разряжается через цепь
с коэффициентом самоиндукции L и сопротив-
лением R (рис. 2). Определить напряжение u
c
на обкладках конденсатора, если в начальный
момент времени
(
)
0
0 Uu
c
=
,
(
)
00 =
′
c
u
.
Решение. На основании законов Кирхгофа имеем:
dt
du
Ci
c
−=
,
dt
di
LRiu
c
+=
.
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение, описываю-
щее процессы в цепи:
02
2
0
2
2
=ω+α+
c
cc
u
dt
du
dt
ud
, (3.8)
где
L
R
2
=α
– коэффициент затухания;
CL
1
2
0
=ω
– частота собственных
колебаний.
Уравнение (3.8) – это линейное однородное дифференциальное урав-
нение с постоянными коэффициентами. Поскольку в задании даны ещё
начальные условия, то мы имеем задачу Коши.
Характеристическое уравнение, соответствующее (3.8):
02
2
0
2
=ω+λα+λ
.
Рассмотрим три случая для корней характеристического уравнения:
а)
044
2
0
2
<ω−α=D
. Тогда уравнение (3.8) имеет комплексные кор-
ни:
22
02,1
α−ω±α−=λ j
,
1
2
−=j
(часто в инженерных приложениях и
физике мнимая единица обозначается через j).
С учётом начальных условий
(
)
0
0 Uu
c
=
,
(
)
00 =
′
c
u
, решение задачи
Коши в этом случае будет иметь вид:
( )
α−ω
α−ω
α
+α−ω=
α−
tteUtu
t
c
22
0
22
0
22
00
sincos
.

Страницы