Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

68
3.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Предварительные замечания.
1. При решении геометрических задач целесообразно построить чер-
тёж. Если задача решается в прямоугольных координатах, то записать
уравнение искомой кривой в виде
(
)
xyy =
и выразить все упоминаемые в
задаче величины через
yyx
′
,,
.
2. В физических задачах надо прежде всего решить, какую из вели-
чин взять за независимую переменную, а какую – за значения искомой
функции; пусть, для определённости, искомая функция есть
(
)
xyy =
. За-
тем следует выразить разностное отношение неизвестной функции через
величины, о которых говорится в задаче:
(
)
(
)
x
xyxxy
∆
−∆+
. Далее, при пе-
реходе к пределу при
0
→
∆
x
, получается дифференциальное уравнение,
из которого можно найти искомую функцию.
В большинстве задач содержатся условия, с помощью которых мож-
но определить значения постоянных, входящих в общее решение диффе-
ренциального уравнения. Иногда дифференциальное уравнение можно
построить более простым способом, воспользовавшись физическим смыс-
лом производной.
Решить задачи, используя математическую модель – обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка.
1. Найти кривую, проходящую через точку (2; 16), зная, что угловой
коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше углово-
го коэффициента прямой, соединяющей эту же точку с началом координат.
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (4; 1), для ко-
торой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится
пополам в точке пересечения с осью ординат.
3. Кривая проходит через точку с координатами (0; –2) и обладает
тем свойством, что тангенс угла наклона касательной в любой её точке
равен ординате этой точки, увеличенной на три единицы. Найти уравне-
ние этой кривой.
4. Составить уравнение линии, проходящей через точку (1; 1), для
которой тангенс угла наклона каждой её касательной пропорционален
квадрату ординаты точки касания.
5. Найти кривую, проходящую через точку (1; 2), для которой отре-
зок на оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равен абс-
циссе точки касания.

Страницы