Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)
11
(
2
)1()1(
21
2
1
*
22
*
11
21
nn
nn
DnDn
XX
T
BB
BB
+
−+
−+−
−
=
, (6.6.9)
имеющую распределение Стьюдента с
n
1
+ n
2
– 2 степенями свободы.
Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу
Н
0
:
1
x
=
2
x
, нужно вычислить на-
блюдаемое значение критерия, заменив в формуле (6.6.9) случайные величины
1
X
,
2
X
,
*
1
B
D
,
*
2
B
D
их выборочными значе-
ниями.
1. При конкурирующей гипотезе
Н
1
:
1
x
2
x
критическую точку
T
кр
(α,
n
1
+ n
2
– 2) находим по таблице критических то-
чек распределения Стьюдента при
n
1
+ n
2
– 2 степенях свободы и вероятности α
.
Если
|T
набл
|< T
кр
,
то нет оснований отверг-
нуть нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.
2. При конкурирующей гипотезе
Н
1
:
1
x
>
2
x
критическую точку
)2,2(
21кр
−+α nnT
правосторонней критической облас-
ти находим по таблице критических точек распределения Стьюдента при
n
1
+ n
2
– 2 степенях свободы и вероятности 2α. Ес-
ли
T
набл
< T
кр
,
то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Иначе нулевую гипотезу отвергают.
3. При конкурирующей гипотезе
Н
1
:
1
x
<
2
x
критическую точку
)2,2(
21кр
−+α nnT
левосторонней критической об-
ласти
находим по таблице критических точек распределения Стьюдента при
n
1
+ n
2
– 2 степенях свободы и вероятности 2α
.
Если
T
набл
> –T
кр
,
то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Иначе нулевую гипотезу отвергают.
6.7. ЛИНЕЙНАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
В естественных науках часто идёт речь о функциональной зависимости, когда каждому значению
одной переменной соответствует вполне определённое значение другой переменной. Однако на практи-
ке между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной пере-
менной может соответствовать множество значений другой переменной, имеющее определённое рас-
пределение. Такая зависимость называется статистической.
Статистические связи между переменными можно изучать методами корреляционного и регресси-
онного анализа. Основной задачей регрессионного анализа является установление формы и изучение
зависимости между переменными. Основной задачей корреляционного анализа – выявление связи меж-
ду случайными переменными и оценка её тесноты.
В регрессионном анализе рассматривается зависимость случайного результативного признака
Y
от неслучайных фак-
торных признаков
X
1
,
X
2
, ...,
X
n
. В случае единственного факторного признака
X
уравнение взаимосвязи двух переменных
может быть представлено в виде
Y =
φ(
X
)
+
ε,
где ε – случайная величина, причём предполагается, что её математическое ожидание
М
(ε)
=
0,
а дисперсия постоянна и не
зависит от
X.
Переменную ε
называют
возмущающей переменной
или просто
возмущением
.
В зависимости от вида функции φ(
X
) различают следующие виды регрессий: линейную, гиперболическую, показатель-
ную, степенную, логарифмическую, параболическую и т.д. Например, уравнение линейной регрессии имеет вид
ε+α+α= XY
1
0
.
(6.7.1)
Предположим, что для оценки параметров регрессии взята выборка, содержащая
n
пар значений (
x
i
,
y
i
), где
i =
1, 2, …,
n.
Оценкой уравнений регрессии являются выборочные уравнения регрессии, имеющие тот же тип, что и функция φ(
x
):
•
линейное
:
;
1
0
xaay +=
)
•
гиперболическое
:
;/
10
xaay +=
)
•
показательное
:
;
10
x
aay =
)
•
степенное
:
;
1
0
a
xay =
)
•
логарифмическое
:
;ln
1
0
xaay +=
)
•
параболическое
:
,
2
21
0
xaxaay ++=
)
где параметры
a
0
,
a
1
, a
2
являются точечными оценками соответствующих параметров α
0
,
α
1
,
α
2
исходного уравнения
и мо-
гут быть найдены на основе метода наименьших квадратов.
Сущность метода наименьших квадратов заключается в нахождении параметров модели
a
0
,
a
1
, при которых минимизи-
руется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, по-
лученных по выборочному уравнению регрессии:
min)(
1
2
→−=
∑
=
n
i
ii
yyS
)
.
Для линейной модели
min)(
1
2
10
→−−=
∑
=
n
i
ii
xaayS
. (6.7.2)

Страницы