Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Функция двух переменных
S
(
a
0
,
a
1
)
может достигнуть экстремума в том случае, когда её частные производные равны
нулю. Вычислим эти частные производные:
.2)(2
;2)(2
1
2
1
1
0
11
10
1
1
10
11
10
0
−−−=−−−=
∂
∂
−⋅−−=−−−=
∂
∂
∑∑∑∑
∑∑∑
====
===
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
iii
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xaxayxxxaay
a
S
xanayxaay
a
S
Приравнивая частные производные к нулю, получим систему уравнений для нахождения параметров
10
,
aa
линейного
уравнения регрессии
xaay
10
+=
)
:
=+
=+
∑ ∑ ∑
∑
∑
.
;
2
10
10
iiii
ii
yxxaxa
yxana
. (6.7.3)
В случае, когда возмущающая переменная ε имеет нормальное распределение, коэффициенты
a
0
, a
1
, полученные мето-
дом наименьших квадратов для линейной регрессии, являются несмещёнными эффективными оценками параметров α
0
,
α
1
уравнения регрессии
ε+α+α= xy
10
.
Для параболического уравнения регрессии
2
21
0
xaxaay ++=
)
система уравнений для нахождения параметров
a
0
,
a
1
,
a
2
имеет вид
=++
=++
=++
∑ ∑ ∑∑
∑ ∑ ∑∑
∑
∑
∑
.
;
;
24
2
3
1
2
0
3
2
2
10
2
210
iiiii
iiiii
i
i
i
yxxaxaxa
yxxaxaxa
yxaxana
(6.7.4)
Заметим, что все предложенные выше виды нелинейных регрессий (кроме параболической) могут быть сведены к ли-
нейной путём какой-либо замены переменной. Для гиперболической регрессии вводится переменная
x
′
=
1
/x
, для логариф-
мической регрессии
x
′
=
xln
, уравнения показательной и степенной регрессии предварительно логарифмируют.
Для показательного уравнения получаем
1
0
lnlnln
axay +=
)
, далее делаем замены
yy
)
)
ln
=
′
,
00
ln
aa =
′
,
11
ln
aa =
′
.
Та-
ким образом, получаем линейное уравнение регрессии
xaay
1
0
′
+
′
=
′
)
.
Найдя коэффициенты этого уравнения методом наи-
меньших квадратов, получим коэффициенты исходного уравнения
0
0
a
ea
′
=
,
1
1
a
ea
′
=
.
Для степенного уравнения получаем
xaay
lnlnln
1
0
+=
)
, далее делаем замены
xx ln=
′
,
yy
)
)
ln=
′
,
00
lnaa =
′
.
Таким об-
разом, получаем линейное уравнение регрессии
xaay
′
+
′
=
′
10
)
.
Найдя коэффициенты этого уравнения методом наименьших
квадратов, вычислим и коэффициент исходного уравнения
0
0
a
ea
′
=
.
Регрессионную модель удобно представлять графически. Рассмотрим выборку объёма
n
. Отложим на координатной
плоскости точки
P
i
(
x
i
,
y
i
), (
i =
1, 2, …,
n
)
(рис. 6.7.1)
.
Полученный график называется
диаграммой рассеивания
. Видим, что
точки группируются около некоторой прямой
xaay
10
+=
. Коэффициенты
10
, aa
этой прямой могут быть найдены методом
наименьших квадратов с помощью системы (6.8.3).
На этом же графике проведём линию, соответствующую уравнению рег-
рессии.
Отклонение точки
P
i
от оцениваемой линии, измеренное по вертикали, будет равно
)(
10
iii
xaaye −−=
. Значения
e
i
(
ni ,1=
), называемые
ошибками уравнения регрессии
, являются реализациями случайной величины
ε
. Функцию
S
(
a
0
,
a
1
),
определенную по (6.7.2), можно представить как
∑
=
=
n
i
i
eS
1
2
, т.е. если фактические данные точно лежали бы на некоторой
прямой, то
S =
0, а чем дальше точки отклоняются от линии регрессии, тем больше значение
S
.
Построив диаграмму рассеяния, можно подобрать вид уравнения регрессии. На рис. 6.7.2 для одних и тех же экспери-
ментальных точек построены линейная и показательная регрессии. Видим, что экспериментальные точки «ближе» подходят
к линии
x
aay
10
=
, чем к прямой. Следовательно, можно сделать вывод, что показательная регрессия более адекватно описы-
вает фактические данные, чем линейная.
Однако по графику можно только приближённо сделать вывод о качестве той или иной модели.
Существуют способы более точной оценки адекватности (значимости) уравнения регрессии. Проверить
значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выра-
жающая зависимость между переменными, экспериментальным данным.

Страницы