Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

60
2
)ʌn(
n
O
, xn)x(X
n
S
cos
, !,,, 210
n .
Ɍɚɤ ɤɚɤ
)x(X)x(Xx)x(
20
222
S
M
cos ,
ɢ
)x(X)x(
0
33
\
,
ɬɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ɏɭɪɶɟ ɞɚɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤ-
ɰɢɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɪɚɜɧɵ
2
0
M
, 1
2
M
, 0
n
M
ɞɥɹ
20,
n
,
3
0
\
, 0
n
\
ɞɥɹ 1
t
n .
Ɉɬɫɸɞɚ ɢ ɢɡ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ §8, ɩ. 1 ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
)tx,(u
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¦
f
xntan
an
tant
n
n
n
SS
S
\
SM\M
cossincos
1
00
x
tat
S
S
2232 coscos
.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɡɚɞɚɱɭ (8.85) – (8.88).
Ɍɚɤ ɤɚɤ
)x(X)x(Xx)tx,(f
30
24432
S
cos ,
ɬɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ɏɭɪɶɟ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
tx,(
f
ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤ-
ɰɢɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɪɚɜɧɵ
4
0
f , 2
3
f , 0
n
f ɞɥɹ
30,
n
.
Ɉɬɫɸɞɚ ɢ ɢɡ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ §8, ɩ. 2 ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
)x(X)t(T)t(T)x(X)t(T)tx,(u
n
nn
330
0
2
¦
f
,
ɝɞɟ
2
0
00
2td)IJt(f)t(T
t
³
W
,
> @
³
WS
S
dIJ)(taf
a
)t(T
t
3
3
1
0
33
sin
ta
a
S
S
31
9
2
22
cos
.
                         �n � ( n� )2 , X n ( x ) � cos n� x , n � 0, 1, 2, � .
       ��� ���
                            � ( x ) � cos 2� x � 2 � 2 X 0 ( x ) � X 2 ( x ) ,
�
                                               � ( x ) � 3 � 3X 0( x ),
�� ������������ ����� ������ ������� �� ������� ����������� ����-
��� ������ ������-�������� �����
                 � 0 � 2 , � 2 � 1 , � n � 0 ��� n � 0, 2 ,
                 � 0 � 3 , � n � 0 ��� n � 1 .
       ������ � �� ����������� §8, �. 1 �������, ���
         u1 ( x, t ) �
                             �
                                   �                                   �n                �
         � �0 �� 0 t �     � ����
                            n �1
                                           n   cos n� a t �
                                                                      n� a
                                                                             sin n� a t �� cos n�x �
                                                                                         �
                                                                 � 2 � 3t � cos 2� a t cos 2� x .


       ���������� ������ (8.85) – (8.88).
       ��� ���
                          f ( x, t ) � 2 cos 3� x � 4 � 4 X 0 ( x ) � 2 X 3 ( x ) ,
�� ������������ ����� ������� f ( x, t ) �� ������� ����������� ����-
��� ������ ������-�������� �����
    f 0 � 4 , f 3 � 2 , f n � 0 ��� n � 0, 3 .
       ������ � �� ����������� §8, �. 2 �������, ���
                                               �

                     u2( x, t ) �          �T ( t ) X ( x ) � T ( t ) � T ( t ) X ( x ),
                                           n� 0
                                                     n            n            0        3        3



���
                                                         t

                                   T 0( t ) �
                                                     �f  0
                                                             0   � ( t � � ) d� � 2 t 2 ,


                                       t
                             1                                                       2
              T 3( t ) �
                           3� a        �f
                                       0
                                               3   sin�3� a (t � �)� d� �
                                                                                   9� 2 a 2
                                                                                            �1 � cos 3� a t � .

                                                                  60

Страницы