Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

(
)
0det
=
λ
−
EA ,
где Е – единичная матрица.
Имеем
0
31
31
221
=
−
−
−
−
λ
λ
λ
или
(
)
(
)
.091
2
=−⋅−
λλ
Получим три собственных значения матрицы А:
.3,3,1
321
−=λ=λ=λ
Определим собственные векторы матрицы А для каждого собственного
значения. По определению вектор
является собственным вектором
матрицы А если:
=
3
2
1
x
x
x
Х
1) Х – ненулевой вектор;
2) существует число такое, что λ X
AX
λ
=
, т.е.
()
0
=
λ− XEA , т.е.
вектор Х является решением системы уравнений, записанной в матричном виде
(
)
0
=
λ
−
XEA ,
где собственное значение матрицы А. λ
Пусть
:1
1
=λ
=−⋅+
=⋅+−
=⋅−⋅+⋅
⇔
=
⋅
−
−
−−
.03
,03
,0220
0
0
0
131
311
2211
321
321
321
3
2
1
xxx
xxx
xxx
x
x
x
Найдём ранг с помощью элементарных преобразований:
−
−
−
131
311
220
~
−
−
−
131
440
220
~
.
−
−
131
440
000
2
х
1
х (-1)
Ранг r
= 2, число неизвестных n = 3. Система имеет бесчисленное
множество решений, зависящих от 123
=
−
=
−
r
n параметра. Пусть
18
                                        det ( A − λE ) = 0 ,

       где Е – единичная матрица.

       Имеем
       1− λ 2            −2
         1     −λ        3 = 0 или    (1 − λ ) ⋅ (λ2 − 9) = 0.
         1      3    −λ

       Получим три собственных значения матрицы А:

       λ 1 = 1, λ 2 = 3, λ 3 = −3.

       Определим собственные векторы матрицы А для каждого собственного
                                       x1 
                                       
значения. По определению вектор Х =  x 2  является собственным вектором
                                      x 
                                       3
матрицы А если:
       1) Х – ненулевой вектор;
       2) существует число λ такое, что AX = λX , т.е. ( A − λE )X = 0 , т.е.
вектор Х является решением системы уравнений, записанной в матричном виде

                                     ( A − λE )X   = 0,

       где λ собственное значение матрицы А.

       Пусть λ 1 = 1 :

       1 − 1 2 − 2   x1   0         0 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 − 2 ⋅ x 3 = 0,
                                    
        1    − 1 3  ⋅  x 2  =  0  ⇔  x1 − x 2 + 3 ⋅ x3 = 0,
        1     3 − 1   x 3   0   x + 3 ⋅ x − x = 0.
                                          1         2     3


       Найдём ранг с помощью элементарных преобразований:

       0 2 − 2            0 2               − 2             0 0    0
                                                  х1                 
       1 − 1 3  х (-1) ~  0 − 4              4       2 ~ 0 − 4     4 .
      1 3 − 1             1 3               − 1             1 3 − 1
                                                                      
      Ранг r = 2, число неизвестных            n = 3. Система имеет бесчисленное
множество решений, зависящих от                  n − r = 3 − 2 = 1 параметра. Пусть


18

Страницы