Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Исследовать функцию и построить её график:
3
3
3)( xxxf −= .
Решение:
1. Область определения:
D(f)=R. Точек разрыва нет, вертикальных
асимптот нет.
2. Нули функции: промежутки знакопостоянства.
⇒=−⇒=−⇒= 03030)(
3
3
3
xxxxxf
(
)
3,003
3,21
2
±==⇒=−⋅ ххxx .
3
0
x
+
f
(x)
–
+ –
Точки пересечения с осями
(
)
(
)
(
)
0;3,0;00;3− .
()
0<xf при
(
)
(
)
Υ
3;03;−∞−∈x ,
()
0>xf при
(
)
(
)
Υ
0;30;3−∈x .
3. Исследуем функцию на чётность. Для любого значения х значение
и
()
yDx ∈−
() () ()
3
3
3
3
33 xxxxxf −−=−−−=− , т.е.
(
)(
xfxf −=
)
−
и область
определения (R) симметрична относительно х=0, значит, функция
3
3
3xx −=y
нечётная, а значит, график её симметричен относительно начала координат (0;0).
4. Функция не периодическая, т.к. представляет собой многочлен.
5. Критические точки. Интервалы возрастания и убывания.
()
() ()()
()
()
=
−
−
⋅=−⋅−=
′
−=
′
−
3
2
3
2
2
1
3
1
3
3
1
3
3
33
3
1
333
3
1
3
xx
x
xxxxxxf
21
        Исследовать функцию и построить её график:

         f ( x) = 3 x 3 − 3 x .

      Решение:
      1. Область определения: D(f)=R. Точек разрыва нет, вертикальных
асимптот нет.

        2. Нули функции: промежутки знакопостоянства.

             f ( x) = 0 ⇒         3   x 3 − 3x = 0 ⇒ x 3 − 3x = 0 ⇒

                (       )
            x ⋅ x 2 − 3 = 0 ⇒ х1 = 0, х 2,3 = ± 3 .



                              –            +                –              +          f(x)
                                                   0                   3                      x



            Точки пересечения с осями − 3; 0           (            ) (0; 0), (           )
                                                                                      3; 0 .

                                      (
             f ( x ) < 0 при x ∈ − ∞;− 3           ) Υ(0; 3 ),
             f ( x ) > 0 при x ∈ − 3;0(        ) Υ(        3;0 .)
        3. Исследуем функцию на чётность. Для любого значения х значение
− x ∈ D( y ) и f (− x ) = 3 (− x )3 − 3(− x ) = −3 x 3 − 3x , т.е. f (− x ) = − f ( x ) и область
определения (R) симметрична относительно х=0, значит, функция y = 3 x 3 − 3x
нечётная, а значит, график её симметричен относительно начала координат (0;0).

        4. Функция не периодическая, т.к. представляет собой многочлен.

        5. Критические точки. Интервалы возрастания и убывания.

                                            ′
                        
                        (
             f ′( x ) =  x 3 − 3 x   )
                                      1
                                      3
                                           1 3
                                               (
                                           = x − 3x            )
                                                                1
                                                                3
                                                                  −1
                                                                       (   2
                                                                                  )
                                                                                 1 3x 2 − 3
                                                                       ⋅ 3x − 3 = ⋅            =
                                                                                                  (       )
                                          3
                                                                                              (       )
                                                                                 3           2
                                                                                  x 3 − 3x 3


                                                                                                              21

Страницы