Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
;12
22
+−−=
′
++−−−=
∂
∂
yxyxyxyx
x
z
x
()
;12
22
+−−=
′
++−−−=
∂
∂
yxyxyxyx
y
z
y
=
=
⇔
=+
=+
⇔
=+−−
=+−−
.
3
1
,
3
1
12
,12
012
,012
y
x
yx
yx
yx
yx
Получаем одну стационарную точку
3
1
;
3
1
M . Исследуем функцию на
экстремум в точке М.
Обозначим:
() () ()
M
y
z
CM
dyx
z
BM
x
z
A
2
22
2
2
,,
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
.
()
()
()
.212
,112
,212
2
2
2
2
2
−=
′
+−−=
∂
∂
−=
′
+−−=
∂
∂
−=
′
+−−=
∂
∂
y
y
x
yx
y
z
yx
dyx
z
yx
x
z
Тогда: 2,1,2
−
=
−=−=
C
B
A
.
Вычислим
.314
21
12
: =−=
−−
−−
=∆=∆
CB
BA
Так как 03 >
=
∆ , то в точке
3
1
;
3
1
M экстремум есть. Так как
02 <−=
A
, то в точке
3
1
;
3
1
M функция
(
)
yxfz ,
=
имеет строгий локальный
максимум.
26
       ∂z
       ∂x
             (                             )
          = − x 2 − xy − y 2 + x + y x ′ = −2 x − y + 1;


       ∂z
       ∂y
             (                             )
          = − x 2 − xy − y 2 + x + y y ′ = − x − 2 y + 1;


                                                 1
                                               x= ,
       − 2 x − y + 1 = 0,   2 x + y = 1,       3
                          ⇔              ⇔ 
       − x − 2 y + 1 = 0    x + 2 y = 1    y = 1 .
                                                3

                                          1 1
       Получаем одну стационарную точку M  ;  . Исследуем функцию на
                                           3 3
экстремум в точке М.
       Обозначим:

             ∂2z        ∂2z            ∂2z
       A = 2 (M ), B =        (M ), C = 2 (M ) .
          ∂x           ∂ x dy          ∂y

       ∂2z
             = (− 2 x − y + 1) x ′ = −2,
       ∂x2


        ∂2z
              = (− 2 x − y + 1) y ′ = −1,
       ∂ x dy


       ∂2z
             = (− x − 2 y + 1) y ′ = −2.
       ∂y2

       Тогда: A = −2, B = −1, C = −2 .
       Вычислим

             A B           −2    −1
       ∆=           :∆ =              = 4 − 1 = 3.
             B C           −1 − 2
                                          1 1
       Так как ∆ = 3 > 0 , то в точке M  ;  экстремум есть. Так как
                                           3 3
                          1 1
A = −2 < 0 , то в точке M  ;  функция z = f ( x, y ) имеет строгий локальный
                           3 3
максимум.
26

Страницы