Методические рекомендации по выполнению контрольных работ по математике. Кулиш Н.В - 27 стр.

                                 1 1
       Ответ: максимум в точке M  ;  .
                                  3 3


       Задача 8.

       Найти угол между градиентами скалярных полей u ( x, y, z ) и v( x, y, z ) в
точке М.
              (             )
       u = ln x 2 + y 2 + z 2 , v = zx + xy + yz − 18 x − 6 z − y; M (3; 5; 4 ).

       Решение:
       Найдём градиенты скалярных полей:

                 du du du        dv dv dv 
       grad U =  ; ; , grad V =  ; ; ;
                 dx dy dz        dx dy dz 

        ∂u
        ∂x
              ( (
           = ln x 2 + y 2 + z 2   ))x ′ =        2x
                                                               ,
                                            x2 + y2 + z2


        ∂u
        ∂y
              ((
           = ln x 2 + y 2 + z 2   ))y ′ =       2y
                                                           ,
                                            x2 + y2 + z2


        ∂u
        ∂z
             ((
           = ln x 2 + y 2 + z 2   ))z ′ =   2
                                                2z
                                                 2    2
                                                           ,
                                            x +y +z


        ∂v
           = (zx + xy + yz − 18 x − 6 z − y ) y ′ = z + y − 18,
        ∂x

        ∂v
           = (zx + xy + yz − 18 x − 6 z − y ) y ′ = x + z − 1,
        ∂y


       ∂v
          = (zx + xy + yz − 18 x − 6 z − y ) z ′ = x + y − 6.
       ∂z
       Градиенты скалярных полей в произвольной точке равны:




                                                                               27